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| Aufgabe | | Bestimme die Extrema oder Sattelpunkte von $f(x,y,z) = [mm] 7x+2y^2 [/mm] +3xz-4z$ unter der NB: [mm] $y^2 [/mm] -x+z =1$ |
Hallo,
Ich bilde einmal die Lagrangefunktion
$L(x,y,z,a) = [mm] 7x+2y^2+3xz-4z+a(y^2 [/mm] -x +z-1)$
die partiellen Ableitungen lauten
[mm] L_{x} [/mm] = 7+3z-a
[mm] L_{y}=4y+2ay
[/mm]
[mm] L_{z}=3x-4+a
[/mm]
[mm] L_{a}=y^2-x+z-1
[/mm]
Das GLS
[mm] L_{x}=0
[/mm]
[mm] L_{y}=0
[/mm]
[mm] L_{z}=0
[/mm]
[mm] L_{a}=0
[/mm]
spuckt folgende Kandidaten für Extrema aus :
P(2, [mm] \sqrt{6}, [/mm] -3,-2) , Q(2, [mm] -\sqrt{6}, [/mm] -3,-2), Q(-1,0,0,7)
Ich bilde die berandete Hesse-Matrix :
$H = [mm] \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2y &1 \\ -1 & 0 & 0 & 3 \\ 2y & 0 & 4+2a & 0 \\ 1&3&0&0\end{pmatrix}$
[/mm]
Nun betrachte ich mal det(H(2, [mm] \sqrt{6}, [/mm] -3,2))=216 > 0 .
Da aber (sowohl für Min als auch Max gefordert wird, dass diese Determinante <0) sein muss, kann in P kein Extremum vorliegen.
die Unterdeterminante von [mm] $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2y &1 \\ -1 & 0 & 0 & 3 \\ 2y & 0 & 4+2a & 0\end{pmatrix}(P)$ [/mm] würde ggf. über MIn/MAx entscheiden.
Kann ich bei der geränderten Hesse-Matrix auch eine Entscheidung mittels Eigenwerte treffen?
(Meine Vermutung ist, dass es sich hierbei um einen Sattelpunkt handelt)
Noch eine Kleinigkeit :
Möchte ich die Extrema mittels Substitution bestimmen - also indem ich die NB nach [mm] $y^2 [/mm] = 1+x-z$ umstelle und in f einsetze, dann partielle ableite , =0 setze und dieses GLS löse, so erhalte ich nur die Punkte P und Q - aber der dritte Punkt (der mittels Lagrange aber ermittelt werden kann fehlt ....) ?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Beste Grüße und schönen Feierabend
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Di 15.03.2016 | | Autor: | Peter_123 |
oder habe ich obiges ganz falsch gemacht ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 16.03.2016 | | Autor: | meili |
Hallo Peter,
> Bestimme die Extrema oder Sattelpunkte von [mm]f(x,y,z) = 7x+2y^2 +3xz-4z[/mm]
> unter der NB: [mm]y^2 -x+z =1[/mm]
> Hallo,
>
> Ich bilde einmal die Lagrangefunktion
>
> [mm]L(x,y,z,a) = 7x+2y^2+3xz-4z+a(y^2 -x +z-1)[/mm]
>
> die partiellen Ableitungen lauten
>
> [mm]L_{x}[/mm] = 7+3z-a
> [mm]L_{y}=4y+2ay[/mm]
> [mm]L_{z}=3x-4+a[/mm]
> [mm]L_{a}=y^2-x+z-1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das GLS
>
> [mm]L_{x}=0[/mm]
> [mm]L_{y}=0[/mm]
> [mm]L_{z}=0[/mm]
> [mm]L_{a}=0[/mm]
>
> spuckt folgende Kandidaten für Extrema aus :
>
> P(2, [mm]\sqrt{6},[/mm] -3,-2) , Q(2, [mm]-\sqrt{6},[/mm] -3,-2),
> Q(-1,0,0,7)
>
> Ich bilde die berandete Hesse-Matrix :
>
> [mm]H = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2y &1 \\ -1 & 0 & 0 & 3 \\ 2y & 0 & 4+2a & 0 \\ 1&3&0&0\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun betrachte ich mal det(H(2, [mm]\sqrt{6},[/mm] -3,2))=216 > 0 .
>
> Da aber (sowohl für Min als auch Max gefordert wird, dass
> diese Determinante <0) sein muss, kann in P kein Extremum
> vorliegen.
Das verstehe ich nicht.
Vergleiche ![[]](/images/popup.gif) Geränderte Hesse-Matrix
Leider steht darin nur "Entscheidend ist die Vorzeichenfolge der führenden Hauptminoren,
wobei gilt, dass man lediglich die k führenden Hauptminoren untersucht für
die gilt k > 2 m (m Anzahl der Nebenbedingungen)." und nicht die genaue
Bedingungen der Vorzeigenfolge für Minimum und Maximum.
>
> die Unterdeterminante von [mm]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2y &1 \\ -1 & 0 & 0 & 3 \\ 2y & 0 & 4+2a & 0\end{pmatrix}(P)[/mm]
Da fehlt doch eine Zeile.
> würde ggf. über MIn/MAx entscheiden.
>
> Kann ich bei der geränderten Hesse-Matrix auch eine
> Entscheidung mittels Eigenwerte treffen?
>
> (Meine Vermutung ist, dass es sich hierbei um einen
> Sattelpunkt handelt)
>
>
> Noch eine Kleinigkeit :
>
> Möchte ich die Extrema mittels Substitution bestimmen -
> also indem ich die NB nach [mm]y^2 = 1+x-z[/mm] umstelle und in f
> einsetze, dann partielle ableite , =0 setze und dieses GLS
> löse, so erhalte ich nur die Punkte P und Q - aber der
> dritte Punkt (der mittels Lagrange aber ermittelt werden
> kann fehlt ....) ?
Wenn ich die Nebenbedingung nach z auflöse: $z = 1 + x - [mm] y^2$
[/mm]
erhalte ich f(x,y) = [mm] $6y^2+3x^2-3xy^2+6x-4$
[/mm]
und
[mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] 6x-3y^2+6 [/mm] = 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x = [mm] \bruch{1}{2}y^2-1$
[/mm]
[mm] $f_y(x,y) [/mm] = 12y-6xy = 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $y(12-6x) = 0$
zusammen:
[mm] $y(18-3y^2) [/mm] = 0$
Gibt ganau die drei Lösungen:
$(-1;0;0), [mm] (2;\wurzel{6};-3), (2;-\wurzel{6};-3)$
[/mm]
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> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
>
> Beste Grüße und schönen Feierabend
>
> Peter
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>
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 17.03.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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