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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Seien $f, [mm] g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ [/mm] gegeben durch
[mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-13$
[/mm]
[mm] $g(x,y,z)=5x^2+12xy+10y^2+z^2$
[/mm]
Zu zeigen: g nimmt unter der Nebenbedingung f(x,y,z)=0 ein globales Minimum an. |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Wie begründet man, dass die Menge
[mm] $\min\{g(x,y,z)|f(x,y,z)=0\}$ [/mm] kompakt ist?
Ich hatte es so versucht:
[mm] $\forall [/mm] c>0 [mm] \underbrace{f^{-1}(\{0\})}_{\text{abgeschlossen}}\cap g^{-1}((-\infty,c])$
[/mm]
[mm] $g^{-1}((-\infty,c])=\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}|x^2+xy+y^2+z^2\leq c\}
[/mm]
[mm] =\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}|(x+y)^2-xy+z^2\leq c\}
[/mm]
Nur weiß ich nicht so wirklich was es bringt. Wir hatten es einmal in der Vorlesung an einem Beispiel ähnlich gemacht, so recht verstanden habe ich es jedoch nicht.
Ich habe auch eine Frage hierzu:
[mm] $\underbrace{f^{-1}(\{0\})}_{\text{abgeschlossen}}$
[/mm]
Abgeschlossen ist es ja, da die Urbilder abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen sind, richtig?
Und f(x,y,z)=0 ist abgeschlossen, da es ja als Gleichung vorliegt, richtig?
Wenn man nun sicher gestellt hat, dass die Menge Kompakt ist und somit potentielle Maxima oder Minima angenommen werden kann man ja an die Berechnung gehen, also den Gradienten von g und f aufstellen:
[mm] $\nabla f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\nabla g\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10x+12y\\20y+12x\\2z\end{pmatrix}$
[/mm]
Nun muss ich das Gleichungssystem
[mm] $\nabla g\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda\nabla f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ [/mm]
lösen.
[mm] $10x+12y=2\lambda [/mm] x$
[mm] $20y+12x=2\lambda [/mm] y$
[mm] $2z=-2\lambda [/mm] z$
Hier komme ich dann nicht weiter.
Es wird wohl eine Fallunterscheidung mit
1. Fall: $z=0$
2. Fall: [mm] $z\neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \lambda=-1$
[/mm]
Aber da komme ich nicht weiter.
Über Hilfe würde ich mich freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Fr 25.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Seien [mm]f, g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}[/mm] gegeben durch
>
> [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-13[/mm]
> [mm]g(x,y,z)=5x^2+12xy+10y^2+z^2[/mm]
>
> Zu zeigen: g nimmt unter der Nebenbedingung f(x,y,z)=0 ein
> globales Minimum an.
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Wie begründet man, dass die Menge
>
> [mm]\min\{g(x,y,z)|f(x,y,z)=0\}[/mm] kompakt ist?
Was soll das? Diese Menge ist leer oder einelementig.
>
> Ich hatte es so versucht:
>
> [mm]\forall c>0 \underbrace{f^{-1}(\{0\})}_{\text{abgeschlossen}}\cap g^{-1}((-\infty,c])[/mm]
>
> [mm]$g^{-1}((-\infty,c])=\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}|x^2+xy+y^2+z^2\leq c\}[/mm]
Woher kommt denn ploetzlich der Term [mm] $x^2+xy+y^2+z^2$?
[/mm]
>
> [mm]=\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}|(x+y)^2-xy+z^2\leq c\}[/mm]
>
> Nur weiß ich nicht so wirklich was es bringt. Wir hatten
> es einmal in der Vorlesung an einem Beispiel ähnlich
> gemacht, so recht verstanden habe ich es jedoch nicht.
Ja. Zur Frage der Kompaktheit:
Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen ihre Extrema an. Daher ist es gut zu wissen, ob der zulaessige Bereich des Problems kompakt ist. Das ist bei dir [mm] $f^{-1}(0)$. [/mm] Diese Menge ist abgeschlossen. Und zwar nicht, weil "sie ja als Gleichung vorliegt" (s.u.), sondern weil das Urbild einer abgeschlossenen Menge von einer stetigen Funktion abgeschlossen ist.
Fuer die Kompaktheit muesste die Menge aber auch beschraenkt sein, was sie aber sicher nicht ist. Nun suchst Du ein Minimum: setze ich also irgendwelche Werte ein, wie z.B. $g(0,0,0)= 0$, so weiss ich jetzt, dass das Minimum [mm] $\leq [/mm] 0$ ist (wenn es existiert). Folglich genuegt es den Zulaessigne Bereich [mm] $f^{-1}(0)\cap g^{-1}((-\infty,0])$ [/mm] ins Auge zu fassen.
Jetzt Du.
> Ich habe auch eine Frage hierzu:
>
> [mm]\underbrace{f^{-1}(\{0\})}_{\text{abgeschlossen}}[/mm]
>
> Abgeschlossen ist es ja, da die Urbilder abgeschlossener
> Mengen selbst abgeschlossen sind, richtig?
Die Funktion muss stetig sein!
> Und f(x,y,z)=0 ist abgeschlossen, da es ja als Gleichung
> vorliegt, richtig?
Was soll das? Du gibst die richtige Begruendung und lieferst dann die Begruendung "da es ja als Gleichung vorliegt" nach?
>
> Wenn man nun sicher gestellt hat, dass die Menge Kompakt
> ist und somit potentielle Maxima oder Minima angenommen
> werden kann man ja an die Berechnung gehen, also den
> Gradienten von g und f aufstellen:
>
> [mm]\nabla f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\nabla g\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10x+12y\\20y+12x\\2z\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun muss ich das Gleichungssystem
>
> [mm]\nabla g\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda\nabla f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}[/mm]
>
> lösen.
>
> [mm]10x+12y=2\lambda x[/mm]
> [mm]20y+12x=2\lambda y[/mm]
> [mm]2z=-2\lambda z[/mm]
>
> Hier komme ich dann nicht weiter.
>
> Es wird wohl eine Fallunterscheidung mit
>
> 1. Fall: [mm]z=0[/mm]
> 2. Fall: [mm]z\neq 0 \Rightarrow \lambda=-1[/mm]
>
> Aber da komme ich nicht weiter.
Wo ist das Problem: Werte einsetzen und Gleichungssystem loesen.
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Bei dem falschen Term bin ich bei mir auf dem Zettel in der Zeile verrutscht. Der gehört zu einer anderen Aufgabe zu dem Thema.
Also die Menge ist abgeschlossen, da Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen abgeschlossen sind.
Ich kann aber nicht zeigen, dass die Menge Kompakt ist, weil sie unbeschränkt ist. Das heißt ich muss nun alle kritischen Punkte bestimmen und dann von denen das Minimum betrachten. Und wegen der nicht vorhandenen Kompaktheit müsste ich noch eine Randwertuntersuchung machen?
Wenn ich das Gleichungssystem lösen möchte, dann betrachte ich den 1. Fall
[mm] $z\neq [/mm] 0$ dann ist [mm] $\lambda=-1$
[/mm]
Ich erhalte die Gleichungen:
12y+12x=0
22y+12x=0
Aus der ersten folgt, dass x=-y ist. In dem Fall muss aber x=y=0 sein, denn nur dann ist die zweite Gleichung erfüllt.
Und wegen
[mm] $z^2=-13$ [/mm] tritt dieser Fall nicht ein.
Also muss z=0 sein.
[mm] $10x+12y=2\lambda [/mm] x$
[mm] $12x+20y=2\lambda [/mm] y$
Außerdem habe ich noch die Nebenbedingung gegeben mit
[mm] $x^2+y^2=13$
[/mm]
Aber ich schaffe es nicht dieses Gleichungssystem zu lösen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Fr 25.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Bei dem falschen Term bin ich bei mir auf dem Zettel in der
> Zeile verrutscht. Der gehört zu einer anderen Aufgabe zu
> dem Thema.
>
> Also die Menge ist abgeschlossen, da Urbilder
> abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen
> abgeschlossen sind.
>
> Ich kann aber nicht zeigen, dass die Menge Kompakt ist,
> weil sie unbeschränkt ist.
Das verstehe ich nun nicht: Du wolltest das Problem doch durch die Beruecksichtigung des Urbildes von [mm] $g^{-1}((-\infty, [/mm] c])$ loesen. Wie auch immer...
> Das heißt ich muss nun alle
> kritischen Punkte bestimmen und dann von denen das Minimum
> betrachten. Und wegen der nicht vorhandenen Kompaktheit
> müsste ich noch eine Randwertuntersuchung machen?
>
> Wenn ich das Gleichungssystem lösen möchte, dann
> betrachte ich den 1. Fall
>
> [mm]z\neq 0[/mm] dann ist [mm]\lambda=-1[/mm]
>
> Ich erhalte die Gleichungen:
>
> 12y+12x=0
> 22y+12x=0
>
> Aus der ersten folgt, dass x=-y ist. In dem Fall muss aber
> x=y=0 sein, denn nur dann ist die zweite Gleichung
> erfüllt.
> Und wegen
>
> [mm]z^2=-13[/mm] tritt dieser Fall nicht ein.
>
> Also muss z=0 sein.
>
> [mm]10x+12y=2\lambda x[/mm]
> [mm]12x+20y=2\lambda y[/mm]
>
> Außerdem habe ich noch die Nebenbedingung gegeben mit
>
> [mm]x^2+y^2=13[/mm]
Aus der letzten Gleichung folgt, dass [mm] $x,y\neq [/mm] 0$. Eliminiere [mm] $\lambda$ [/mm] aus den ersten beiden Gleichungen. Ein moegliches Zwischenergebnis ist [mm] $6(y^{2}-x^{2})-5xy=0$. [/mm] Zusammen mit [mm] $x^{2}+y^{2}=13$ [/mm] hast Du nun $2$ Gleichungen mit ebensovielen Unbekannten...
Anderer Weg: Fasse die ersten beiden Gleichungen als LGS mit Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] auf. Da [mm] $x,y\neq [/mm] 0$ sind, muss das LGS eine nichttriviale Loesung haben, d.h. die Determinante der Koeffizientenmatrix muss $=0$ sein. Daraus erhaelst Du [mm] $\lambda$...
[/mm]
>
> Aber ich schaffe es nicht dieses Gleichungssystem zu
> lösen.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:57 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, so erhalte ich dann auch erstmal das Ergebnis
[mm] 22x^2-12y^2+10xy=0
[/mm]
Ich habe wohl die andere Gleichung zum einsetzen genommen.
Wenn ich jetzt aber mit deiner Gleichung weiterrechne, dann sehe ich immer noch nicht wie man hier zum Ziel kommt.
[mm] 6(y^2-x^2)-5xy=0
[/mm]
[mm] x^2+y^2=13
[/mm]
Wenn ich die zweite Gleichung nach x auflöse, dann erhalte ich
[mm] $|x|=\sqrt{13-y^2}$
[/mm]
Setze ich das nun oben ein, dann bräuchte ich doch nun wieder eine Fallunterscheidung und die Gleichung sollte nicht ohne weiteres Lösbar sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Fr 25.07.2014 | | Autor: | hippias |
Es kann auch sein, dass ich mich verrechnet habe. Diese Variante scheint auf jeden Fall nicht lustig zu werden. Versuche auch die andere.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Meinst du mit der anderen Variante die Gleichung die ich erhalten habe?
Ich sehe da keinen Unterschied im Berechnungsumfang. Die Gleichung die ich erhalten habe sollte sogar von den Werten her ein wenig ekeliger sein.
Da es sich um eine Wurzelgleichung handelt müsste ich zu der ohnehin verhandenen Fallunterscheidung noch eine Fallunterscheidung machen, da der erste Schritt ja wäre die Wurzel zu isolieren und dann zu quadrieren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Sa 26.07.2014 | | Autor: | hippias |
Nein: ich habe Dir zwei Ansaetze aufgezeigt. Selbstverstaendlich habe ich mich darauf bezogen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 27.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Fr 25.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f, g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}[/mm] gegeben durch
>
> [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-13[/mm]
> [mm]g(x,y,z)=5x^2+12xy+10y^2+z^2[/mm]
>
> Zu zeigen: g nimmt unter der Nebenbedingung f(x,y,z)=0 ein
> globales Minimum an.
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Wie begründet man, dass die Menge
>
> [mm]\min\{g(x,y,z)|f(x,y,z)=0\}[/mm] kompakt ist?
Unfug !
Zeige: [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3: f(x,y,z)=0\} [/mm] ist kompakt !
FRED
>
> Ich hatte es so versucht:
>
> [mm]\forall c>0 \underbrace{f^{-1}(\{0\})}_{\text{abgeschlossen}}\cap g^{-1}((-\infty,c])[/mm]
>
> [mm]$g^{-1}((-\infty,c])=\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}|x^2+xy+y^2+z^2\leq c\}[/mm]
>
> [mm]=\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}|(x+y)^2-xy+z^2\leq c\}[/mm]
>
> Nur weiß ich nicht so wirklich was es bringt. Wir hatten
> es einmal in der Vorlesung an einem Beispiel ähnlich
> gemacht, so recht verstanden habe ich es jedoch nicht.
> Ich habe auch eine Frage hierzu:
>
> [mm]\underbrace{f^{-1}(\{0\})}_{\text{abgeschlossen}}[/mm]
>
> Abgeschlossen ist es ja, da die Urbilder abgeschlossener
> Mengen selbst abgeschlossen sind, richtig?
> Und f(x,y,z)=0 ist abgeschlossen, da es ja als Gleichung
> vorliegt, richtig?
>
> Wenn man nun sicher gestellt hat, dass die Menge Kompakt
> ist und somit potentielle Maxima oder Minima angenommen
> werden kann man ja an die Berechnung gehen, also den
> Gradienten von g und f aufstellen:
>
> [mm]\nabla f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\nabla g\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10x+12y\\20y+12x\\2z\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun muss ich das Gleichungssystem
>
> [mm]\nabla g\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda\nabla f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}[/mm]
>
> lösen.
>
> [mm]10x+12y=2\lambda x[/mm]
> [mm]20y+12x=2\lambda y[/mm]
> [mm]2z=-2\lambda z[/mm]
>
> Hier komme ich dann nicht weiter.
>
> Es wird wohl eine Fallunterscheidung mit
>
> 1. Fall: [mm]z=0[/mm]
> 2. Fall: [mm]z\neq 0 \Rightarrow \lambda=-1[/mm]
>
> Aber da komme ich nicht weiter.
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen.
>
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