Lagrange Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Student ernährt sich von Bier, Currywurst und Pommes. Ein Bier kostet 2€, eine Portion Currywurst 3€ und eine Portion Pommes 1€. Der durch x_^Einheiten von Bier, [mm] x_2 [/mm] Einheiten von Currywurst und [mm] x_3 [/mm] Einheiten von Pommes erzielte Nutzen wird durch die Nutzenfunktion nach Cobb & Douglas:
[mm] N(x_1,x_2,x_3)=6x_1^{1/6}x_2^{1/3}x_3^{1/2}
[/mm]
beschrieben. Ermitteln sie den maximalen Nutzen bei einem gegebenen Budget von 180€ |
Hallo zusammen,
offensichtlich führt diese Aufgabenstellung zu einer Lagrange Funktion, die sich aus einer Funktion mit Nebenbedingungen zusammensetzt.
Allerdings verstehe ich die Aufgabenstellung nicht so ganz, weil wenn sich ein Student von [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] ernährt, was ist denn da ein Nutzen (und für wen?=))..???
Also die Funktion N(...)=... wird wohl die Hauptfunktion sein und die Nebenbedingung ist, dass das Budget auf 180€ beschränkt ist.
Wie stelle ich die Nebenbedingung als mathematische Funktion dar, denn sie sollte wohl als Argument [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] haben, oder?
Vllt sehe ich es auch einfach nicht, weil ich nicht so recht verstehe, was mit Nutzen hier überhaupt gemeint sein soll.
Also wäre dankbar für eine Hilfe!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Mo 09.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
einen Nutzen erfährt der Student durch den Konsum von Currywurst, Pommes und Bier.
Wie groß sein Nutzen in Abhängigkeit vom jeweiligen Konsum dieser drei Lebensmittel ist, ist durch die Nutzenfunktion N gegeben.
Jetzt hat er aber ein begrenztes Budget für den Kosum, nämlich 180€.
Du weißt, für eine Kosumeinheit (oder besser: für ein Glas) Bier bezahlt er 2€. Für [mm]x_1[/mm] Gläser Bier bezahlt er also [mm]2*x_1[/mm] €. Analog zahlt er für [mm]x_2[/mm] Konsumeinheiten (oder naheliegender: Portionen) Currywurst [mm]3*x_2[/mm] €. Und für [mm]x_3[/mm] Portionen Pommes zahlt er [mm]1*x_3[/mm] €.
Was bezahlt er also insgesamt in Abhängigkeit von den konsumierten Mengen [mm]x_1,x_2,x_3[/mm]. Seine Ausgaben betragen insgesamt 180 € (wir gehen davon aus, er gibt 180 komplett für Pommes, Wurst und Bier aus).
Daraus ergibt sich dann deine Nebenbedingung. Und den Nutzen (gegeben durch die Nutzenfunktion N) willst du dann unter dieser Nebenbedingung (nämlich, dass seine Ausgaben insgesamt 180€ betragen) maximieren.
Gruß
barsch
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Hi,
danke für die Antwort!
Also dann versuche ich mal die Nebenbedingungsfunktion explizit aufzustellen:
Ich nenne sie A (für Ausgaben), seine gesamten Ausgaben in abh. von [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] betragen doch dann:
[mm] A(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2+x_3=180 \Rightarrow A(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2+x_3-180=0
[/mm]
Stimmt das so?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ich nenne sie A (für Ausgaben), seine gesamten Ausgaben in
> abh. von [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] betragen doch dann:
>
> [mm]A(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2+x_3=180 \Rightarrow A(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2+x_3-180=0[/mm]
>
> Stimmt das so?
Korrekt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
barsch
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Super, danke!
Jetzt möchte ich von dieser Funktion ja gerne die Extremstelle/n wissen-dazu muss ich die Jacobi Matrix bestimmen, also die einzelnen partiellen Ableitungen bilden. Ist dieser Lagrange Operator [mm] \lambda [/mm] wie eine Variable zu Werten? Also muss ich die Funktion nach [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] und [mm] \lamda [/mm] ableiten?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Du musst die Langrange-Funktion aufstellen:
[mm]L(\lambda,x_1,x_2,x_3)=...[/mm]
Und dann musst du die partiellen Ableitungen bestimmen für [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] und [mm]\lambda[/mm] und diese gleich 0 setzen (Bedingung 1. Ordnung). Du erhälst so ein Gleichungssystem, mit dem du dann [mm]x_1,x_2 \textrm{und} x_3[/mm] bestimmen kannst.
Gruß
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Hallo,
also meine Lagrange Funktion lautet dann ja:
[mm] L(x_1,x_2,x_3,\lambda)=6x_1^{1/6} x_2^{1/3} x_3^{1/2}+\lambda({2x_1+3x_2+x_3-180})
[/mm]
Für die Partiellen Ableitungen jeweils:
[mm] (1)\frac{\partial L}{\partial x_1}=x_1^{-\frac{5}{6}}+2\lambda=0
[/mm]
[mm] (2)\frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{1}{3}x_2^{-\frac{2}{3}}+3\lambda=0
[/mm]
[mm] (3)\frac{\partial L}{\partial x_3}=\frac{1}{2}x_3^{-\frac{1}{2}}+\lambda=0
[/mm]
[mm] (4)\frac{\partial L}{\partial \lambda}=2x_1+3x_2+x_3-180=0
[/mm]
Aus (1) müsste dann folgen: [mm] \lambda=-\frac{1}{2x_1^{\frac{5}{6}}}
[/mm]
Damit gehe ich dann in (2) und forme um, bis ich erhalte:
[mm] 2x_1^{\frac{5}{6}}=9x_2{\frac{2}{3}}...damit [/mm] gehe ich dann (3)...?
Ist das vorgehen so korrekt?
Grüße
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Hallo Theoretix,
> Hallo,
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> also meine Lagrange Funktion lautet dann ja:
>
> [mm]L(x_1,x_2,x_3,\lambda)=6x_1^{1/6} x_2^{1/3} x_3^{1/2}+\lambda({2x_1+3x_2+x_3-180})[/mm]
>
> Für die Partiellen Ableitungen jeweils:
>
> [mm](1)\frac{\partial L}{\partial x_1}=x_1^{-\frac{5}{6}}+2\lambda=0[/mm]
>
> [mm](2)\frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{1}{3}x_2^{-\frac{2}{3}}+3\lambda=0[/mm]
>
> [mm](3)\frac{\partial L}{\partial x_3}=\frac{1}{2}x_3^{-\frac{1}{2}}+\lambda=0[/mm]
>
Hier hast Du überall einen Faktor vergessen:
[mm](1)\frac{\partial L}{\partial x_1}=\red{...} \ x_1^{-\frac{5}{6}}+2\lambda=0[/mm]
[mm](2)\frac{\partial L}{\partial x_2}=\red{...} \ \frac{1}{3}x_2^{-\frac{2}{3}}+3\lambda=0[/mm]
[mm](3)\frac{\partial L}{\partial x_3}=\red{...} \ \frac{1}{2}x_3^{-\frac{1}{2}}+\lambda=0[/mm]
> [mm](4)\frac{\partial L}{\partial \lambda}=2x_1+3x_2+x_3-180=0[/mm]
>
> Aus (1) müsste dann folgen:
> [mm]\lambda=-\frac{1}{2x_1^{\frac{5}{6}}}[/mm]
>
> Damit gehe ich dann in (2) und forme um, bis ich erhalte:
>
> [mm]2x_1^{\frac{5}{6}}=9x_2{\frac{2}{3}}...damit[/mm] gehe ich dann
> (3)...?
>
> Ist das vorgehen so korrekt?
>
Formal ist das Vorgehen korrekt.
> Grüße
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für die Antwort!
Stimmt bei (1) habe ich vergessen das [mm] \frac{1}{6}als [/mm] Vorfaktor runter zu ziehen.
Bei (2) und (3) habe ich das doch gemacht?
Wieso meintest du, dass ich es überall vergessen habe?
Liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
> Hallo MathePower,
>
> danke für die Antwort!
>
> Stimmt bei (1) habe ich vergessen das [mm]\frac{1}{6}als[/mm]
> Vorfaktor runter zu ziehen.
>
> Bei (2) und (3) habe ich das doch gemacht?
> Wieso meintest du, dass ich es überall vergessen habe?
Es ist doch:
[mm]\bruch{\partial N}{\partial x_{1}}=\bruch{\partial}{\partial x_{1}}\left(6*x_{1}^{1/6}*x_{2}^{1/3}*x_{3}^{1/2}\right)=\blue{6*x_{2}^{1/3}*x_{3}^{1/2}}*\bruch{\partial}{\partial x_{1}}\left(x_{1}^{1/6}\right)[/mm]
Den blau markierten Faktor habe ich gemeint.
Dieser ist, je nach welcher Variablen differenziert wird, immer verschieden.
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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Oh selbstverständlich, danke für den Hinweis!
Löse ich jetzt trotzdem (1) nach z.B. [mm] x_1 [/mm] auf und erhalte [mm] x_1 [/mm] in abhängigkeit von [mm] x_2,x_3,\lambda, [/mm] setze das in (2) ein usw...?
Gruß
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Hallo Theoretix,
> Oh selbstverständlich, danke für den Hinweis!
>
> Löse ich jetzt trotzdem (1) nach z.B. [mm]x_1[/mm] auf und erhalte
> [mm]x_1[/mm] in abhängigkeit von [mm]x_2,x_3,\lambda,[/mm] setze das in (2)
> ein usw...?
Ja, das kannst Du machen.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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