Lagrange Eis minimieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 So 26.06.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Ein Eishersteller verpackt Schokoloadeneis zu je 1000 ml in quaderför-
mige Schachteln. Dabei verwendet er diejenige Form, für die er am wenigsten Verpackungsmaterial benötigt. Wie muss er also die Seitenlängen des Quaders wählen? |
Hallo,
Sei O die Oberfläche, dann ist zu minimieren:
$O(b,l,h)=2bh+4lh$
Mit Nebenbedingung:
$blh=1000$
Also bilde ich
[mm] $f(b,l,h,\lambda) [/mm] = 2bh+4lh + [mm] \lambda(blh-1000)$
[/mm]
und die partiellen Ableitungen werden null gesetzt zur Bestimmung der kritischen Stellen:
[mm] $f_{b}= 2h+\lambda [/mm] lh = 0$
[mm] $f_{l}= [/mm] 4h+ [mm] \lambda [/mm] bh = 0 $
[mm] $f_{h} [/mm] = 2b+ 4l + [mm] \lambda [/mm] bl = 0$
[mm] $f_{\lambda}= [/mm] blh-1000 = 0$
Dann die erste Zeile nach [mm] $\lambda$ [/mm] umgeformt, in die zweite eingesetzt, die zweite nach b umgeformt, in die dritte eingesetzt, dann erhalte ich :
$-2l = 0 $
dann krieg ich kein Volumen mehr zusammen.
Was ist hier falsch gelaufen und wie macht mans richtig?
Grüsse und Dank
kushkush
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Hallo kushkush,
> Ein Eishersteller verpackt Schokoloadeneis zu je 1000 ml in
> quaderför-
> mige Schachteln. Dabei verwendet er diejenige Form, für
> die er am wenigsten Verpackungsmaterial benötigt. Wie muss
> er also die Seitenlängen des Quaders wählen?
Ich nehme an, die Schachteln sind allseitig geschlossen, also sozusagen mit Deckel. Weiter dürfte wie üblich weder Verschnitt noch Verklebungsüberlappung vorausgesetzt werden...
> Sei O die Oberfläche, dann ist zu minimieren:
>
> [mm]O(b,l,h)=2bh+4lh[/mm]
Ich denke, hier hängt es schon.
[mm] O(b,l,h)=2bh+2bl+2lh [/mm]
Nebenbei gesagt ist die Aufgabe bei obiger Interpretation doch ein bisschen langweilig - das Ergebnis ist natürlich ein Würfel, b=l=h.
Etwas interessanter ist die Fassung "ohne Deckel". Beide Varianten sind auch mit schulischen Mitteln lösbar, soweit ich sehe. Dein Ansatz mit partiellen Ableitung ist aber m.E. eleganter.
> Mit Nebenbedingung:
>
> [mm]blh=1000[/mm]
Ja, klar.
Viel Erfolg!
reverend
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> Hallo kushkush,
>
> > Ein Eishersteller verpackt Schokoloadeneis zu je 1000 ml in
> > quaderför-
> > mige Schachteln. Dabei verwendet er diejenige Form, für
> > die er am wenigsten Verpackungsmaterial benötigt. Wie muss
> > er also die Seitenlängen des Quaders wählen?
>
> Ich nehme an, die Schachteln sind allseitig geschlossen,
> also sozusagen mit Deckel. Weiter dürfte wie üblich weder
> Verschnitt noch Verklebungsüberlappung vorausgesetzt
> werden...
... dabei wäre doch gerade dies ein hübsches Beispiel dafür,
wie man "Anwendungsaufgaben" ohne großen zusätzlichen
Rechenaufwand einigermaßen realistisch gestalten könnte,
eben mit Berücksichtigung des eigentlichen Schnitt-
musters der Kartons.
Eine Packung Eis, bei der an den Kanten der Saft herausläuft,
würde ich wohl nicht in meinen Einkaufswagen, sondern
sofort in die Kühltruhe zurück legen ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 So 26.06.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo reverend,
> ich nehme an
ja
> hier hängt es schon
mit $ O(b,l,h)= 2bl+2bh+2hl$
ist [mm] $f(b,l,h,\lambda) [/mm] = 2bl+2bh+2hl [mm] +\lambda(blh-1000)$
[/mm]
und die Ableitungen:
[mm] $f_{b}= 2l+2h+\lambda [/mm] l h = 0$
$ [mm] f_{l}= 2b+2h+\lambda [/mm] b h = 0 $
$ [mm] f_{h} [/mm] = 2b+ 2l + [mm] \lambda [/mm] bl =0 $
$ [mm] f_{\lambda}= [/mm] blh - 1000$
das löst sich auf zu $b=l=h=10$ und [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \frac{-2}{5}$
[/mm]
jezt will ich formal überprüfen dass es auch ein Minimum ist, dazu nehme ich die Hessesche Matrix von O(b,l,h) , das gibt mir aber:
[mm] $H_{O}= \vektor{0&2&2\\2&0&2\\ 2&2&0}$ [/mm]
also bringt mir die Hessesche Matrix nix weil sie indefinit ist...
wie überprüfe ich denn das nun?
ein anderer Ansatz war auch:
$O(b,l,h)= 2bl+2bh+2lh$
$b= [mm] \frac{1000}{lh}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f(h,l)=\frac{2000}{h} [/mm] + [mm] \frac{2000}{l} [/mm] + 2lh$
[mm] $f_{h} [/mm] = [mm] \frac{-2000}{h^{2}} [/mm] + 2l = 0 $
$ [mm] f_{l}= \frac{-2000}{l^{2}} [/mm] + 2h = 0 $
$ [mm] \gdw [/mm] h=l $
aber das hilft irgendwie auch nicht so wirklich!
Wie zeige ich dass es auch ein Minimum ist??
> Viel Erfolg!
Danke! Dir auch!
Gruss
kushkush
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> Hallo reverend,
>
>
>
> > ich nehme an
>
>
> ja
>
> > hier hängt es schon
>
>
>
> mit [mm]O(b,l,h)= 2bl+2bh+2hl[/mm]
>
>
> ist [mm]f(b,l,h,\lambda) = 2bl+2bh+2hl +\lambda(blh-1000)[/mm]
>
>
> und die Ableitungen:
>
>
> [mm]f_{b}= 2l+2h+\lambda l h = 0[/mm]
> [mm]f_{l}= 2b+2h+\lambda b h = 0[/mm]
>
> [mm]f_{h} = 2b+ 2l + \lambda bl =0[/mm]
>
> [mm]f_{\lambda}= blh - 1000[/mm]
>
>
> das löst sich auf zu [mm]b=l=h=10[/mm] und [mm]\lambda = \frac{-2}{5}[/mm]
>
>
> jezt will ich formal überprüfen dass es auch ein Minimum
> ist,
Hallo,
wenn Du Extrema mit Nebenbedingung mit Lagrange bestimmt hast, bringt Dich die Hessematrix der Funktion i.a. nicht weiter.
> dazu nehme ich die Hessesche Matrix von O(b,l,h) , das
> gibt mir aber:
>
> [mm]H_{O}= \vektor{0&2&2\\
2&0&2\\
2&2&0}[/mm]
>
> also bringt mir die Hessesche Matrix nix weil sie indefinit
> ist...
>
>
> wie überprüfe ich denn das nun?
>
>
> ein anderer Ansatz war auch:
>
>
>
> [mm]O(b,l,h)= 2bl+2bh+2lh[/mm]
> [mm]b= \frac{1000}{lh}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(h,l)=\frac{2000}{h} + \frac{2000}{l} + 2lh[/mm]
>
>
> [mm]f_{h} = \frac{-2000}{h^{2}} + 2l = 0[/mm]
> [mm]f_{l}= \frac{-2000}{l^{2}} + 2h = 0[/mm]
>
> [mm]\gdw h=l[/mm]
Du hat das Gleichungssystem nicht bis zum Ende gelöst.
Du bekommst h=l=10.
Jetzt mach mit der Hessematrix weiter.
Gruß v. Angela
>
>
> aber das hilft irgendwie auch nicht so wirklich!
>
> Wie zeige ich dass es auch ein Minimum ist??
>
>
> > Viel Erfolg!
> Danke! Dir auch!
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:44 Mi 29.06.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> lagrange kein hesse
Also was macht man wenn man das mit lagrange lösen will? Die zweiten partiellen Ableitungen betrachten ohne Hessematrix?
> zweiter Ansatz Hesse
OK.
> GruB v. Angela
Danke
Gruss v. kushkush
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> Hallo!
>
>
> > lagrange kein hesse
>
>
> Also was macht man wenn man das mit lagrange lösen will?
Hallo,
mit "anderen Methoden", welche verschieden sein können.
Glück hat man, wenn man aufgrund der Nebenbedingung den Satz v. Minimum und Maximum anwenden kann, was in Deiner Aufgabe aber nicht der Fall ist.
Für Probleme mit nur zwei Variablen kann man mit der geränderten Hessematrix arbeiten, wie das aber mit drei Variablen geht, weiß ich gar nicht.
Ansonsten paßt das Stichwort "Kuhn-Tucker-Bedingung" noch zu dieser Fragestellung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:23 Fr 01.07.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> kuhn tuck
OK
> GruB v. Angela
Danke
GruB v. Kushkush
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