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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Di 26.07.2005 | | Autor: | nutshell |
Folgende Aufgabe ist gegeben:
Eine Firma fertigt aus x Mengeneinheiten Kalk und y Mengeneinheiten Sand ihr Glas gemäß der Produktionsfunktion
g(x,y) = [mm] \wurzel{xy} [/mm] (g(x,y) - produzierte Einheiten Glas).
Jede Mengeneinheit Kalk kostet 2 GE, jede Mengeneinheit Sand kostet 3 GE.
Es sollen insgesamt 100 Mengeneinheiten Glas zu minimalen Kosten gefertigt werden.
a) Formulieren sie die die Zielfunktion und die Nebenbedingung.
b) Lösen Sie das Optimierungsproblem mit dem Lagrange-Verfahren.
Für a) liegt folgender Ansatz von uns (Lerngemeinschaft) vor:
2x + 3y = min --> Zielfunktion
100 = [mm] \wurzel{xy} [/mm] --> Nebenbedingung
Liegen wir mit a) richtig und wie gehen wir bei b) vor?
Für einen Lösungsweg wären wir Dankbar ....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Nutshell
a.) Mittels Nebenbedingung y in Funktion von x ausdrücken.
b.) Hauptfunktion, bei der dann nur noch x vorkommt, ableiten.
c.) Nullstellen der abgeleiteten Funktion ermitteln (dort ist die Steigung O also
eine besondere Stelle des Grafen gegeben, welche wohl ?)
d.) Um sicher zu gehen, zweite Ableitung bilden, um die Frage c.) zu beantworten.
kommt ihr so weiter ?
Gruss aus Zürich
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Hallo,
eigentlich ist es natürlich einigermaßen übertrieben, dieses problem mit hilfe der lagrange-methode zu lösen. einfacher ist es, wie von beni beschrieben, das ganze in ein eindimensionales extremwertproblem umzuwandeln.
Nichtsdestotrotz hier der kompliziertere ansatz:
du möchtest die funktion $f(x,y)=2x+3y$ unter der Nebenbedingung
[mm] $h(x,y)=\wurzel{x*y}-100=0$
[/mm]
minimieren. Nach Lagrange ist nun für die Existenz eines Extremums im Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] folgende Gleichung zu erfüllen:
[mm] $\nabla f(x_0,y_0)=\lambda \nabla h(x_0,y_0)$.
[/mm]
das heißt anschaulich der gradient der zu minimierenden funktion steht normal auf der mannigfaltigkeit (hier Kurve), die durch die nebenbedingung definiert ist. das wiederum heißt, dass der tangentialanteil des gradienten (sozusagen die kovariante ableitung) verschwindet. (analog zu der anforderung an den standard-gradienten im fall ohne nebenbedingungen)
wenn du die gleichung oben aufstellst und dann noch ausnutzt, dass [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] die nebenbedingung erfüllen, solltest du die (den) kandidaten für extremstellen erhalten.
dann musst du noch prüfen, dass tatsächlich ein extremum vorliegt. (wie das formal korrekt geht, weiss ich im moment allerdings auch nicht)
Viele Grüße
Matthias
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