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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:36 Mi 16.04.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | Zeige, dass cos : [mm] \IR \to \IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] durch die Taylorreihe in [mm] x_0 [/mm] dargestellt wird, d.h bezeichnet [mm] T_{x_{0},n} [/mm] das n-te Taylorpolynom der cos-Funktion in [mm] x_0, [/mm] so gilt [mm] T_{x_{0},n}(x) \to [/mm] cos(x) fuer n [mm] \to \infty [/mm] und jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
(Tip Lagrange-Restglied) |
Ich muss ja hier zeigen, dass das Restglied gleich Null ist, nur ich weiss nicht genau wie. Die Formel fuer das Lagrange-Restglied ist ja
[mm] \bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}*f^{n+1} (\gamma)
[/mm]
und wenn ich dann die Funktion cosinus einsetzte komme ich ja auf
[mm] \bruch{(x-x_0)^{(n+1)}}{(n+1)!}*cos^{n+1} (\gamma)
[/mm]
nur mir ist hier ja nichts so richtig gegeben...
kann mir viell jemand einen kleinen Tip geben....
lg penguin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 18.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Du weißt doch, dass [mm]cos^{n+1} (\gamma)[/mm] betragsmäßig kleiner als 1 ist, da es der [mm] \pm [/mm] sin oder [mm] \pm [/mm] cos ist. Und das hilft doch schon weiter...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Dunkit |
hm nein, also mir hilft das leider nicht... Habe das selbe Problem.
Ich muss doch zeigen, dass das Restglied gegen 0 konvergiert, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Fr 18.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> hm nein, also mir hilft das leider nicht... Habe das selbe
> Problem.
Doch, das hilft.
> Ich muss doch zeigen, dass das Restglied gegen 0
> konvergiert, oder?
Ja. Jetzt nimm doch mal ein festes $x$. Wenn du ein $n$ hast, wie kannst du dann [mm] $\frac{(x - x_0)^{n + 1}}{(n + 1)!} \cos^{(n+1)}(\gamma)$ [/mm] nach oben Abschaetzen? Schauen wir uns dochmal die Faktoren an.
Beim ersten, $(x - [mm] x_0)^{n+1}$, [/mm] hast du halt sowas wie Konstante hoch $n + 1$. Der zweite ist [mm] $\frac{1}{(n + 1)!}$. [/mm] Das waechst schonmal recht schnell. Die beiden zusammen kannst du ja erstmal anschauen, wie verhaelt sich das fuer $n [mm] \to \infty$? [/mm] (Tipp: es ist ja z.B. [mm] $\frac{a^6}{6!} [/mm] = [mm] \frac{a}{1} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdots \frac{a}{6}$.)
[/mm]
Und das dritte ist [mm] $\cos^{(n+1)}(\gamma)$. [/mm] Wie sieht denn [mm] $\cos^{(n+1)}$ [/mm] ueberhaupt aus?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Dunkit |
oh ja ^^
Ich habe jetzt die Abschätzung
| [mm] \bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] * [mm] cos^{n+1} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] \bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|
[/mm]
Das sollte zusammen mit dem Majorantenkriterium die Lösung bringen, oder?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 Sa 19.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hi
> oh ja ^^
> Ich habe jetzt die Abschätzung
>
> | [mm]\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm] * [mm]cos^{n+1}[/mm] | [mm]\le[/mm] |
> [mm]\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|[/mm]
>
> Das sollte zusammen mit dem Majorantenkriterium die Lösung
> bringen, oder?!
Genau :)
Gute Nacht,
Felix
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