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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=(sin(x))^{2}. [/mm] Zeige,dass [mm] |R_{3}|\le\bruch{1}{48},falls [/mm] 0 [mm] \le x_{pruef} \le \bruch{1}{2}. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Also das [mm] R_{3} [/mm] steht für den Langrage-Rest des dritten Taylorpolynoms.
Und ich soll nun zeigen,dass dieser Rest kleiner als [mm] \bruch{1}{48},wenn [/mm] die Prüfstelle zwischen 0 und 0.5 liegt.
Ich weiß eigentlich wie man den Lagrange-Rest berechnet,aber nur wenn man eine Prüfstelle konkret gegeben hat.Hier hab ich aber keine.Ich hab trotzdem mal einen Ansatz:
[mm] R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=|\bruch{f^{(4)}(\beta)}{4!}*x^{4}|
[/mm]
Ich muss ja im Zähler die 4.Ableitung einsetzen, [mm] f''''(x)=8*(sin(x))^{2}-8*(cos(x))^{2}.Dann [/mm] hab ich [mm] |f(x)-T_{3}(x)|=|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}|
[/mm]
So, und jetzt weiß ich nicht wie ich weitermachen soll,da ich keine bestimmte Prüfstelle hab,die ich für [mm] \beta [/mm] einsetzen kann.Wie muss ich das hier machen?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=(sin(x))^{2}.[/mm] Zeige,dass
> [mm]|R_{3}|\le\bruch{1}{48},falls[/mm] 0 [mm]\le x_{pruef} \le \bruch{1}{2}.[/mm]
>
> Hallo zusammen^^
>
> Also das [mm]R_{3}[/mm] steht für den Langrage-Rest des dritten
> Taylorpolynoms.
> Und ich soll nun zeigen,dass dieser Rest kleiner als
> [mm]\bruch{1}{48},wenn[/mm] die Prüfstelle zwischen 0 und 0.5
> liegt.
> Ich weiß eigentlich wie man den Lagrange-Rest
> berechnet,aber nur wenn man eine Prüfstelle konkret
> gegeben hat.Hier hab ich aber keine.Ich hab trotzdem mal
> einen Ansatz:
>
> [mm]R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=|\bruch{f^{(4)}(\beta)}{4!}*x^{4}|[/mm]
>
> Ich muss ja im Zähler die 4.Ableitung einsetzen,
> [mm]f''''(x)=8*(sin(x))^{2}-8*(cos(x))^{2}.Dann[/mm] hab ich
> [mm]|f(x)-T_{3}(x)|=|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}|[/mm]
Alles wunderbar bist jetzt!
Genau so musst du vorgehen.
Nun weißt du:
$0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \frac{1}{2}$.
[/mm]
Das bedeutet,
$0 [mm] \le x^{4}\le \left(\frac{1}{2}\right)^{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{16}$.
[/mm]
Du kannst also folgendermaßen weitermachen:
[mm] $R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=\left|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}\right| \le \frac{1}{48}*\left|(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right|$.
[/mm]
Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass der Term im Betrag zwischen -1 und 1 liegt.
Berechne dazu
[mm] $\cos(2x) [/mm] = [mm] \cos(x+x)$
[/mm]
mit Hilfe der Additionstheoreme!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> > Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=(sin(x))^{2}.[/mm] Zeige,dass
> > [mm]|R_{3}|\le\bruch{1}{48},falls[/mm] 0 [mm]\le x_{pruef} \le \bruch{1}{2}.[/mm]
>
> >
> > Hallo zusammen^^
> >
> > Also das [mm]R_{3}[/mm] steht für den Langrage-Rest des dritten
> > Taylorpolynoms.
> > Und ich soll nun zeigen,dass dieser Rest kleiner als
> > [mm]\bruch{1}{48},wenn[/mm] die Prüfstelle zwischen 0 und 0.5
> > liegt.
> > Ich weiß eigentlich wie man den Lagrange-Rest
> > berechnet,aber nur wenn man eine Prüfstelle konkret
> > gegeben hat.Hier hab ich aber keine.Ich hab trotzdem mal
> > einen Ansatz:
> >
> >
> [mm]R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=|\bruch{f^{(4)}(\beta)}{4!}*x^{4}|[/mm]
> >
> > Ich muss ja im Zähler die 4.Ableitung einsetzen,
> > [mm]f''''(x)=8*(sin(x))^{2}-8*(cos(x))^{2}.Dann[/mm] hab ich
> >
> [mm]|f(x)-T_{3}(x)|=|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}|[/mm]
>
> Alles wunderbar bist jetzt!
> Genau so musst du vorgehen.
> Nun weißt du:
>
> [mm]0 \le x \le \frac{1}{2}[/mm].
>
> Das bedeutet,
>
> [mm]0 \le x^{4}\le \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}[/mm].
Ok,bis hierhin hab ich es verstanden.
> Du kannst also folgendermaßen weitermachen:
>
> [mm]R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=\left|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}\right| \le \frac{1}{48}*\left|(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right|[/mm].
>
Hier hast du für [mm] x^{4} [/mm] die [mm] \bruch{1}{16} [/mm] eingesetzt oder?Aber warum setzt man die Prüfstelle jetzt für x ein,eigentlich haben wir die immer für [mm] \beta [/mm] eingesetzt?
Und mir ist noch nicht klar,warum man hier das [mm] \le [/mm] Zeichen nach dem Betrag schreibt,denn eigentlich muss es doch = sein?
lg
> Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass der Term im Betrag
> zwischen -1 und 1 liegt.
> Berechne dazu
>
> [mm]\cos(2x) = \cos(x+x)[/mm]
>
> mit Hilfe der Additionstheoreme!
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=(sin(x))^{2}.[/mm] Zeige,dass
> > > [mm]|R_{3}|\le\bruch{1}{48},falls[/mm] 0 [mm]\le x_{pruef} \le \bruch{1}{2}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo zusammen^^
> > >
> > > Also das [mm]R_{3}[/mm] steht für den Langrage-Rest des dritten
> > > Taylorpolynoms.
> > > Und ich soll nun zeigen,dass dieser Rest kleiner als
> > > [mm]\bruch{1}{48},wenn[/mm] die Prüfstelle zwischen 0 und 0.5
> > > liegt.
> > > Ich weiß eigentlich wie man den Lagrange-Rest
> > > berechnet,aber nur wenn man eine Prüfstelle konkret
> > > gegeben hat.Hier hab ich aber keine.Ich hab trotzdem mal
> > > einen Ansatz:
> > >
> > >
> >
> [mm]R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=|\bruch{f^{(4)}(\beta)}{4!}*x^{4}|[/mm]
> > >
> > > Ich muss ja im Zähler die 4.Ableitung einsetzen,
> > > [mm]f''''(x)=8*(sin(x))^{2}-8*(cos(x))^{2}.Dann[/mm] hab ich
> > >
> >
> [mm]|f(x)-T_{3}(x)|=|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}|[/mm]
> >
> > Alles wunderbar bist jetzt!
> > Genau so musst du vorgehen.
> > Nun weißt du:
> >
> > [mm]0 \le x \le \frac{1}{2}[/mm].
> >
> > Das bedeutet,
> >
> > [mm]0 \le x^{4}\le \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}[/mm].
>
> Ok,bis hierhin hab ich es verstanden.
>
> > Du kannst also folgendermaßen weitermachen:
> >
> >
> [mm]R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=\left|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}\right| \le \frac{1}{48}*\left|(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right|[/mm].
>
> >
> Hier hast du für [mm]x^{4}[/mm] die [mm]\bruch{1}{16}[/mm] eingesetzt
> oder?Aber warum setzt man die Prüfstelle jetzt für x
> ein,eigentlich haben wir die immer für [mm]\beta[/mm] eingesetzt?
> Und mir ist noch nicht klar,warum man hier das [mm]\le[/mm] Zeichen
> nach dem Betrag schreibt,denn eigentlich muss es doch =
> sein?
Das [mm] \le [/mm] ist schon richtig. Denn deiner Prüfstelle liegt in einem Intervall, setzt du also den größtmöglichen wert in dem Intervall ein, so sind alle anderen x kleiner.
> lg
> > Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass der Term im
> Betrag
> > zwischen -1 und 1 liegt.
> > Berechne dazu
> >
> > [mm]\cos(2x) = \cos(x+x)[/mm]
> >
> > mit Hilfe der Additionstheoreme!
> >
> > Grüße,
> > Stefan
>
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ok,bis hierhin hab ich es verstanden.
> >
> > > Du kannst also folgendermaßen weitermachen:
> > >
> > >
> >
> [mm]R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=\left|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}\right| \le \frac{1}{48}*\left|(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right|[/mm].
>
> >
> > >
> > Hier hast du für [mm]x^{4}[/mm] die [mm]\bruch{1}{16}[/mm] eingesetzt
> > oder?Aber warum setzt man die Prüfstelle jetzt für x
> > ein,eigentlich haben wir die immer für [mm]\beta[/mm] eingesetzt?
> > Und mir ist noch nicht klar,warum man hier das [mm]\le[/mm]
> Zeichen
> > nach dem Betrag schreibt,denn eigentlich muss es doch =
> > sein?
>
> Das [mm]\le[/mm] ist schon richtig. Denn deiner Prüfstelle liegt in
> einem Intervall, setzt du also den größtmöglichen wert
> in dem Intervall ein, so sind alle anderen x kleiner.
>
Ja ok.Aber warum setzt man die Prüfstelle jetzt für das x und nicht für das [mm] \beta [/mm] ein?Sonst hatten wir das immer für [mm] \beta [/mm] eingesetzt?
lg
>
> > lg
> > > Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass der Term im
> > Betrag
> > > zwischen -1 und 1 liegt.
> > > Berechne dazu
> > >
> > > [mm]\cos(2x) = \cos(x+x)[/mm]
> > >
> > > mit Hilfe der Additionstheoreme!
> > >
> > > Grüße,
> > > Stefan
> >
>
> lg
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Hallo,
> > Das [mm]\le[/mm] ist schon richtig. Denn deiner Prüfstelle liegt in
> > einem Intervall, setzt du also den größtmöglichen wert
> > in dem Intervall ein, so sind alle anderen x kleiner.
> >
> Ja ok.Aber warum setzt man die Prüfstelle jetzt für das x
> und nicht für das [mm]\beta[/mm] ein?Sonst hatten wir das immer
> für [mm]\beta[/mm] eingesetzt?
Das glaube ich nicht, oder die Aufgabenstellung lautete anders.
Es gibt dafür zwei Indizien und ein handfestes Argument.
Das 1. Indiz: Es kommt das richtige heraus!
Das 2. Indiz: Deine Prüfstelle heißt [mm] x_{pruef} [/mm] und nicht [mm] \beta_{pruef}
[/mm]
Das Argument: Die Lagrange'sche Form des Restglieds sagt aus, dass sich die restliche Taylorentwicklung ab dem n-ten Glied für jedes x darstellen lässt als
[mm] $\frac{f^{n}(\beta_{x})}{n!}*x^{n}$
[/mm]
Dabei ist [mm] \beta_{x} [/mm] von x abhängig, uns es gilt [mm] \beta_{x}\in [/mm] [0,x]. Warum setzen wir jetzt die Prüfstelle x nicht für [mm] \beta_{x} [/mm] ein, sondern für x?
Wählen wir ein festes x, so können wir konkret wegen der Kenntnis [mm] \beta_{x}\in[0,x] [/mm] angeben, wie groß der Fehler durch die Taylor-Entwicklung höchstens sein kann!
Wählen wir dagegen ein [mm] \beta_{x}, [/mm] so können wir nichts sagen! Denn das [mm] \beta_{x} [/mm] könnte zu einem beliebigen x gehören! Außerdem macht das auch rein logisch keinen Sinn: Wir wollen etwas über die Genauigkeit der Taylor-Reihe an einer Stelle x sagen; wenn aber x weiterhin in der Formel drinbleibt, haben wir doch gar nicht charakterisiert, um welche Stelle x es uns geht!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 25.04.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du kannst also folgendermaßen weitermachen:
>
> [mm]R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=\left|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}\right| \le \frac{1}{48}*\left|(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right|[/mm].
>
> Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass der Term im Betrag
> zwischen -1 und 1 liegt.
> Berechne dazu
>
> [mm]\cos(2x) = \cos(x+x)[/mm]
>
> mit Hilfe der Additionstheoreme!
Hier komme ich nicht mehr ganz weiter.
Es ist doch [mm] cos(2x)=(cos(x))^{2}-(sin(x))^{2}.
[/mm]
Aber wie soll ich jetzt weitermachen?
Und ich versteh den Zusammenhang noch nicht ganz.Wir wollen doch zeigen,dass [mm] |(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right| [/mm] zwischen -1 und 1 liegt,aber warum berechnen wir dann cos(2x),was hat das damit zu tun?
lg
> Grüße,
> Stefan
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Hallo,
>
> > Du kannst also folgendermaßen weitermachen:
> >
> >
> [mm]R_{3}(x)=|f(x)-T_{3}(x)|=\left|\bruch{(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}}{3}*x^{4}\right| \le \frac{1}{48}*\left|(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right|[/mm].
>
> >
> > Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass der Term im Betrag
> > zwischen -1 und 1 liegt.
> > Berechne dazu
> >
> > [mm]\cos(2x) = \cos(x+x)[/mm]
> >
> > mit Hilfe der Additionstheoreme!
>
> Hier komme ich nicht mehr ganz weiter.
> Es ist doch [mm]cos(2x)=(cos(x))^{2}-(sin(x))^{2}.[/mm]
> Aber wie soll ich jetzt weitermachen?
> Und ich versteh den Zusammenhang noch nicht ganz.Wir
> wollen doch zeigen,dass
> [mm]|(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right|[/mm] zwischen -1 und 1
> liegt,aber warum berechnen wir dann cos(2x),was hat das
> damit zu tun?
Wie du eben berechnet hast, gilt:
[mm] $\left|(sin(\beta))^{2}-(cos(\beta))^{2}\right| [/mm] = [mm] \left|(cos(\beta))^{2}-(sin(\beta))^{2}\right| [/mm] = [mm] |\cos(2*\beta)| \le [/mm] 1$,
da $-1 [mm] \le \cos(2*\beta) \le [/mm] 1$.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 25.04.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Jetzt hab ichs verstanden.Vielen Dank =)
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