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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. ich habe eine Frage und hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.
Ich schreibe erstmal die Aufgabe hin und dann meine Frage dazu.
[mm] f(x)=2x^{2}+3xy+y^{2}
[/mm]
g(x)=2x +3y-1 [mm] \le [/mm] 0
L(x, [mm] \lambda [/mm] ) = [mm] 2x^{2}+3xy+y^{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] (2x +3y-1)
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x}= [/mm] 4x+3y+2 [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial L}{\partial y}= [/mm] 3x+2y+3 [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] (2x +3y-1)=0
1.Fall: [mm] \lambda [/mm] = 0 hier habe ich [mm] \bruch{\partial L}{\partial x} [/mm] nach x umgeformt und in [mm] \bruch{\partial L}{\partial y} [/mm] eingesetzt und habe x=y=0 erhalten.
2.Fall: [mm] \lambda \not=0 \Rightarrow \begin{Bmatrix}
4 & 3 & 2 & 0 \\
3 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 1
\end{Bmatrix} [/mm] Nach auflösen erhalte ich x=- [mm] \bruch{5}{8}; [/mm] y= [mm] \bruch{6}{8} [/mm] und [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
Jetzt meine Frage: Kann ich immer so ein Gleichungssystem aufstellen, wenn die einzelnen Gleichungen linear sind? Ich danke schonmal im voraus
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> Hallo. ich habe eine Frage und hoffe mir kann da jemand
> weiterhelfen.
> Ich schreibe erstmal die Aufgabe hin und dann meine Frage
> dazu.
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> [mm]f(x)=2x^{2}+3xy+y^{2}[/mm]
>
> g(x)=2x +3y-1 [mm]\le[/mm] 0
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> L(x, [mm]\lambda[/mm] ) = [mm]2x^{2}+3xy+y^{2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] (2x +3y-1)
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}=[/mm] 4x+3y+2 [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}=[/mm] 3x+2y+3 [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda[/mm] (2x +3y-1)=0
>
> 1.Fall: [mm]\lambda[/mm] = 0 hier habe ich [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}[/mm]
> nach x umgeformt und in [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}[/mm]
> eingesetzt und habe x=y=0 erhalten.
>
> 2.Fall: [mm]\lambda \not=0 \Rightarrow \begin{Bmatrix}
4 & 3 & 2 & 0 \\
3 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 1
\end{Bmatrix}[/mm]
> Nach auflösen erhalte ich x=- [mm]\bruch{5}{8};[/mm] y= [mm]\bruch{6}{8}[/mm]
> und [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
>
> Jetzt meine Frage: Kann ich immer so ein Gleichungssystem
> aufstellen, wenn die einzelnen Gleichungen linear sind? Ich
> danke schonmal im voraus
Hallo,
ja, wenn Du ein lineares Gleichungssystem hast, kannst Du es natürlich mit dem Dir liebsten Verfahren zur Lösung von LGSen lösen.
Das Lästige ist bloß, daß die GSe, die man bei solchen Optimierungsaufgaben erhält, oft nicht linear sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Ich weiß. Danke dir nochmal. Heute fülle ich aber auch das Forum mit meinen Fragen  Das ist aber morgen vorbei, dann schreibe ich nämlich die Klausur.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Di 03.02.2009 | | Autor: | tynia |
Ich habe da noch eine allgemeine Frage: Nehmen wir mal an die Funktion von eben hätte noch folgende Nebenbedingung:
h(x)=3x +4y-2 = 0
Würde dann das [mm] \lambda [/mm] bei den Ableitungen wegfallen? Ich schreibe es mal hin.
L(x, [mm] \lambda [/mm] ) = [mm] 2x^{2}+3xy+y^{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] (2x +3y-1)
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x}= [/mm] 4x+3y+2 [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial L}{\partial y}= [/mm] 3x+2y+3 [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] (2x +3y-1)=0
3x +4y-2 = 0
Wenn die NB [mm] \le [/mm] 0 ist, schreibt man das [mm] \lambda [/mm] mit auf und wenn die NB =0 ist, lässt man [mm] \lambda [/mm] weg? Ist das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mi 04.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Bei Gleichungsnebenbedingungen gibt es trotzdem einen Lagrangemultiplikator [mm] \mu. [/mm] Der Unterschied ist nur, dass die Forderung [mm] \mu\le0 [/mm] wegfällt, und auch die Komplementarität hier keinen Sinn macht.
Quasi hast du trotzdem deine Lagrangefunktion als
[mm] L(x,\lambda,\mu):=f(x)+\lambda^T*g(x)+\mu^T*h(x)
[/mm]
mit [mm] \mu\in\IR^p, [/mm] aber [mm] \lambda\in\IR^m_+ [/mm] ,
wobei g die Ungleichungsnebenbedingungen und h die Gleichungsnebenbedingungen sind.
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