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| Aufgabe | | Man bestimme den euklidischen Abstand des Punktes [mm] (1,-1,0)\in\IR^{3} [/mm] zum Rotationshyperboloid [mm] M:=\{x\in\IR^3:x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 1\} [/mm] mit Hilfe des Lagrange-Formalismus. |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe habe ich ein Problem am Ende beim Auswerten.
Man soll ja in obiger Aufgabe die Funktion
$f(x) = [mm] ||x-\vektor{1\\-1\\0}||_{2}^{2} [/mm] = [mm] (x_1-1)^2 [/mm] + [mm] (x_2+1)^2 [/mm] + [mm] x_3^2$
[/mm]
minimieren (Das Quadrat des Abstands wird auch minimal, wenn der Abstand selbst minimal wird, um umgekehrt, weil der Abstand positiv ist) unter der Nebenbedingung:
$0 = g(x) = [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] - [mm] x_3^2 [/mm] -1$.
Dafür stellt ich das Gleichungssystem
$gradient(f) = [mm] \lambda*gradient(g) \Rightarrow \vektor{2*(x_1 - 1)\\2*(x_2 + 1)\\2*x_3} [/mm] = [mm] \lambda*\vektor{2*x_1\\2*x_2\\2*x_3}$
[/mm]
$g(x) = 0$
auf und löse es nach [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] auf. Ich habe eine Fallunterscheidung [mm] x_3\not= [/mm] 0 und [mm] x_3 [/mm] = 0 gemacht und bin darauf gekommen, dass es die beiden Lösungen
[mm] $(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0)$
[/mm]
[mm] $(x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] (-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)$
[/mm]
gibt. Nun meine Verwirrung: Ich suche nach einem Minimum des Abstandes. Das ist mit Sicherheit der erste Punkt. Aber was ist der zweite Punkt? Das kann doch von der Anschauung her (wenn man sich den Rotationshyperboloid aufzeichnet) weder Minimum noch Maximum sein?
Hängt es eventuell damit zusammen, dass das Problem, den Abstand von (-1,1,0) zu M zu bestimmen genau dieselben Lagrange-Gleichungen liefert (nur [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] vertauscht?)
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Di 22.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme den euklidischen Abstand des Punktes
> [mm](1,-1,0)\in\IR^{3}[/mm] zum Rotationshyperboloid
> [mm]M:=\{x\in\IR^3:x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 1\}[/mm] mit Hilfe des
> Lagrange-Formalismus.
> Hallo!
>
> Bei der obigen Aufgabe habe ich ein Problem am Ende beim
> Auswerten.
> Man soll ja in obiger Aufgabe die Funktion
>
> [mm]f(x) = ||x-\vektor{1\\-1\\0}||_{2}^{2} = (x_1-1)^2 + (x_2+1)^2 + x_3^2[/mm]
>
> minimieren (Das Quadrat des Abstands wird auch minimal,
> wenn der Abstand selbst minimal wird, um umgekehrt, weil
> der Abstand positiv ist) unter der Nebenbedingung:
>
> [mm]0 = g(x) = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 -1[/mm].
>
> Dafür stellt ich das Gleichungssystem
>
> [mm]gradient(f) = \lambda*gradient(g) \Rightarrow \vektor{2*(x_1 - 1)\\2*(x_2 + 1)\\2*x_3} = \lambda*\vektor{2*x_1\\2*x_2\\2*x_3}[/mm]
Vorsicht, es muß lauten:
[mm]gradient(f) = \lambda*gradient(g) \Rightarrow \vektor{2*(x_1 - 1)\\2*(x_2 + 1)\\2*x_3} = \lambda*\vektor{2*x_1\\2*x_2\\-2*x_3}[/mm]
>
> [mm]g(x) = 0[/mm]
>
> auf und löse es nach [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] auf. Ich habe eine
> Fallunterscheidung [mm]x_3\not=[/mm] 0 und [mm]x_3[/mm] = 0 gemacht und bin
> darauf gekommen, dass es die beiden Lösungen
>
> [mm](x_1,x_2,x_3) = (\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm]
>
> [mm](x_1,x_2,x_3) = (-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm]
>
> gibt. Nun meine Verwirrung: Ich suche nach einem Minimum
> des Abstandes. Das ist mit Sicherheit der erste Punkt. Aber
> was ist der zweite Punkt? Das kann doch von der Anschauung
> her (wenn man sich den Rotationshyperboloid aufzeichnet)
> weder Minimum noch Maximum sein?
So ist es. Beachte, was die Multiplikatorenregel besagt: sie besagt:
Wenn f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung g(x)=0 besitzt und wenn [mm] gradg(x_0) \ne [/mm] 0, so existiert ein [mm] \lambda_0 \in \IR [/mm] mit:
[mm] $gradf(x_0) [/mm] = [mm] \lambda_0*gradg(x_0)$
[/mm]
D.h: : Du findest die gesuchte Stelle [mm] x_0 [/mm] unter den Lösungen x des Gleichungssystems
(*) $gradf(x) = [mm] \lambda*gradg(x)$.
[/mm]
Nicht jede Stelle x , die (*) erfüllt muß Stelle eines lokalen Extremums sein !
FRED
>
> Hängt es eventuell damit zusammen, dass das Problem, den
> Abstand von (-1,1,0) zu M zu bestimmen genau dieselben
> Lagrange-Gleichungen liefert (nur [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] vertauscht?)
>
> Danke für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort!
> Vorsicht, es muß lauten:
>
> [mm]gradient(f) = \lambda*gradient(g) \Rightarrow \vektor{2*(x_1 - 1)\\2*(x_2 + 1)\\2*x_3} = \lambda*\vektor{2*x_1\\2*x_2\\-2*x_3}[/mm]
Danke, war bloß ein Tippfehler...
> > Nun meine Verwirrung: Ich suche nach einem Minimum
> > des Abstandes. Das ist mit Sicherheit der erste Punkt. Aber
> > was ist der zweite Punkt? Das kann doch von der Anschauung
> > her (wenn man sich den Rotationshyperboloid aufzeichnet)
> > weder Minimum noch Maximum sein?
>
>
> So ist es. Beachte, was die Multiplikatorenregel besagt:
> sie besagt:
>
> Wenn f in [mm]x_0[/mm] ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung
> g(x)=0 besitzt und wenn [mm]gradg(x_0) \ne[/mm] 0, so existiert ein
> [mm]\lambda_0 \in \IR[/mm] mit:
>
> [mm]gradf(x_0) = \lambda_0*gradg(x_0)[/mm]
>
> D.h: : Du findest die gesuchte Stelle [mm]x_0[/mm] unter den
> Lösungen x des Gleichungssystems
>
> (*) [mm]gradf(x) = \lambda*gradg(x)[/mm].
>
> Nicht jede Stelle x , die (*) erfüllt muß Stelle eines
> lokalen Extremums sein !
Danke für die Erläuterung, jetzt habe ich es verstanden!
Ich habe noch eine Frage: Woher weiß ich denn überhaupt, dass der Abstand über so ein lokales Minimum angenommen wird? Könnte es nicht auch sein, dass es eine ganze Gerade (oder ein anderes Gebilde) auf dem Rotationshyperboloid gibt, deren Punkte allesamt diesen kleinsten Abstand zum Punkt (1,-1,0) annehmen?
Dann würde die Lagrange-Methode ja fehlschlagen...
Unter der Annahme, dass solch ein Minimum existiert:
Nun habe ich zwei Extrempunktkandidaten [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gefunden, und da [mm] f(x_1) [/mm] < [mm] f(x_2) [/mm] ist, ist dieses gesuchte Minimum [mm] x_1.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 24.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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