Lagebeziehung zweier Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen!
[mm] E_{1}(PQR): [/mm] P(1/0/1) Q(2/2/4) R(5/-1/1)
[mm] E_{2}(ABC): [/mm] A(11/-5/-3) B(16/-4/0) C(20/-5/0) |
So als erstes habe ich die Parametergleichungen aufgestellt.
[mm] E_{1}: \overrightarrow{x}=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] + t [mm] \pmat{ 4 \\ -1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] E_{2}: \overrightarrow{x}=\pmat{ 11 \\ -5 \\ -3 } [/mm] + u [mm] \pmat{ 5 \\ 1 \\ 3 } [/mm] + v [mm] \pmat{ 9 \\ 0 \\ 3 }
[/mm]
So jetzt habe ich die beiden gleichgesezt. So bekomme ich
1+ s+4t=11+5u+9v
0+2s-t =-5+ u+0
1+3s+0 =-3+3u+3v
Als nächstes habe ich u eleminiert.
1-9s+9t=21+9v
-2-12s+12t=48+12v
Wenn ich jetzt v eleminiere bekomme ich ja den Widerspruch 10=-60 raus.Das bedeutet ja das Gleichungssystem hat keine Lösung und damit sind Ebenen parallel. Nun meine Frage ist: Meine Lehrerin hat dahinter noch geschrieben [mm] E_{1}=E_{2} [/mm] (Aufgabe stammt aus einen Test). Ich habe zwar in einen Buch gelesen das parallele Ebenen auch identisch sein können aber ich habe keine Idee wie ich jetzt herausbekommen kann, wenn die Ebenen zueinander parallel und ob sie dann außerdem noch identisch sind oder nicht. Daher wäre ich sehr wenn ihr mal erklären könntet wie ich dieses Problem lösen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe Deine Rechnung nicht überprüft, aber wenn Du einen Widerspruch herausbekommst, dann sind die Ebenen echt parallel, d.h. sie sind nicht identisch.
Also hast Du Dich entweder verrechnet oder das Ergebnis der Lehrerin ist falsch. Tipp: Wenn die Ebenen identisch wären, würden die drei Punkte von der einen Ebene alle auch auf der anderen Ebene liegen. Das könntest Du ja schnell prüfen.
Grundsätzlich würde ich die gegenseitige Lage von Ebenen mit dem Normalenvektor bzw. mit der Koordinatenform prüfen. Da ist alles viel einfacher, aber ich weiß nicht, wie weit Ihr im Unterricht seid.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Di 12.12.2006 | | Autor: | mathpower |
Habe mal die Punkte von der Ebene 2 oben eingesetzt. Also sie liegen nicht auf der Ebene.
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