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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | Es soll untersucht werden, ob die Ebend E die Kugel K schneidet, berührt oder gar keinen Punkt gemeinsam mit ihr hat!
E: [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 5
K: [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] x_3^2 [/mm] =25 |
Hallo ihr Lieben!
Wir sind gerade am Anfang des Themas und sollen einige Aufgaben dieses Typs^^ lösen.
Leider habe ich garkeinen konkreten Ansatzversuch, weil ich nichtmal die Formel, die unser Buch zur Berechnung angibt, verstehe...
Ich poste mal die Beispielaufgabe und die angebene Lösung. Vielleicht kann ja jemand daran erklären, wie das Ganze funktioniert und mir eventuell ein bisschen weiterhelfen!
BEISPIEL!
.........
E: [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 12
K: [mm] (x_1 [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] + [mm] (x_2 [/mm] + [mm] 2)^2 [/mm] + [mm] (x_3 -1)^2 [/mm] = 9
Also, ich hab verstanden, dass man M ablesen kann - M ist dann (1;-2;1). r=3, das ist auch klar.
Jetzt die Abstandsberechnung (ich weiß, dass man sie macht, um den Abstand d dann eben mit r vergleichen zu können und so etwas über die Lage von E und K aussagen zu können).
Die Abstandsberechnung ist eigentlich das, was ich an der Erklärung nicht verstehe...
[mm] d=\vmat{ \bruch{1}{\wurzel{2^2 + 1^2 + 2^2}}(2*1 - 1*2 - 2*1 - 12 }= \bruch{14}{3}
[/mm]
Unser Buch verkürzt gerne mal die ganzen Formeln und mir ist total unklar, wo diese Formel herkommt und noch viel unklarer, wie ich sie anweden soll!!
HILFE ;)
Eure Amy
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> Es soll untersucht werden, ob die Ebend E die Kugel K
> schneidet, berührt oder gar keinen Punkt gemeinsam mit ihr
> hat!
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> E: [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 5
> K: [mm]x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] + [mm]x_3^2[/mm] =25
> Hallo ihr Lieben!
> Wir sind gerade am Anfang des Themas und sollen einige
> Aufgaben dieses Typs^^ lösen.
> Leider habe ich garkeinen konkreten Ansatzversuch, weil
> ich nichtmal die Formel, die unser Buch zur Berechnung
> angibt, verstehe...
> Ich poste mal die Beispielaufgabe und die angebene Lösung.
> Vielleicht kann ja jemand daran erklären, wie das Ganze
> funktioniert und mir eventuell ein bisschen weiterhelfen!
>
> BEISPIEL!
> .........
>
> E: [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = 12
> K: [mm](x_1[/mm] - [mm]1)^2[/mm] + [mm](x_2[/mm] + [mm]2)^2[/mm] + [mm](x_3 -1)^2[/mm] = 9
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> Also, ich hab verstanden, dass man M ablesen kann - M ist
> dann (1;-2;1). r=3, das ist auch klar.
> Jetzt die Abstandsberechnung (ich weiß, dass man sie
> macht, um den Abstand d dann eben mit r vergleichen zu
> können und so etwas über die Lage von E und K aussagen zu
> können).
> Die Abstandsberechnung ist eigentlich das, was ich an der
> Erklärung nicht verstehe...
Stichwort Hessesche Normalform: Der Abstand eines Punktes [mm] $P(p_1|p_2|p_3)$ [/mm] von einer Ebene [mm] $E:\;ax_1+bx_2+cx_3-d=0$ [/mm] ist
[mm]d(P,E)=\frac{|ap_1+bp_2+cp_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/mm]
Die Koeffizienten $a,b,c$ der Koordinatengleichung der Ebene bilden bekanntlich einen Normalenvektor dieser Ebene. Die Division durch [mm] $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ [/mm] dient der Normierung (auf die Länge 1 strecken / stauchen) dieses Normalenvektors.
Vielleicht hast Du ja ein Lehrbuch (mit einem Index), in dem Du eine genauere Erklärung der Hesseschen Normalform (und nicht weit davon entfernt wohl auch eine Erläuterung dieser Abstandsformel) nachschlagen kannst.
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