Lagebeziehung Ebene Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Fr 10.08.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die Lagebeziehung der zwei Ebenen
E1 = 2x + 3y + 1z = 6
E2 = 4x + 6y + 2 z = 12 |
Hallöchen
ich kenn es so, dass ich sie als erstes auf die Parallelität prüfen kann in dem ich folgendes immer mache
[mm] \vektor{2\\ 3\\1} [/mm] = r * [mm] \vektor{4\\ 6\\2}
[/mm]
Wenn ich alle drei "r" umstelle erhalte ich drei mal das gleiche Ergebnis für r= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] was für mich schlussendlich aussagt dass E1 und E2 parallel sind, da sie linear abhängig sind und schluss is mit meiner Frage auf Parallelität!!
Jetzt stand aber noch unten drunter noch vollgendes, was ich nachvollziehen kann wofür das noch nötig ist, da wir ja bereits oben schon klare lineare Abhängigkeit ermittelt haben und dadurch doch schon wissen dass E1 und E2 parallel sind
12 * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 6
6 = 6 das ist eine wahre Aussage
Jetzt stand da noch ein weiteres Bsp. wo die Zahl 12 in 10 geändert wurde
E1 = 2x + 3y + 1z = 6
E2 = 4x + 6y + 2 z = 10
Auch hier stand logischerweise wieder an der Tafel und wir für "r" wieder [mm] \bruch{1}{2} [/mm] erhalten haben, und für mich die Frage auf Parallelität erledigt wäre
[mm] \vektor{2\\ 3\\1} [/mm] = r * [mm] \vektor{4\\ 6\\2}
[/mm]
Aber was mich jetzt hier wieder gesört hat warum da jetzt noch folgendes stand
10 * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 6
5 = 6 dahinter stand noch "eine nicht wahre Aussage, die zeigt dass die Ebenen parallel sind"
Jetzt bin ich total verwirrt!!
|
|
| |
|
Hallo,
wenn der Normalenvektor zweier Ebenen in diesselbe Richtung zeigt, was Du mit Deiner Rechnung prüfst, so gibt es zwei Möglichkeiten
1. Die Ebenen sind echt parallel
2. Die Ebenen sind identisch
Die ersten beiden Ebenen sind parallel und identisch,
die beiden anderen sind echt parallel, denn das zugehörige LGS hat keine Lösung. Sie haben also keinen gemeinsamen Punkt.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 10.08.2012 | | Autor: | betina |
Danke Angela für deine nachvollziehbare Antwort (ohne drum und dran),
Bitte jetzt nicht vor lauter Text erschrecken..drück mich lieber ausführlicher aus als zu knapp 
jetzt wollte ich aber noch mal sicher gehen ob ich dich richtig verstanden habe wie ich vorgehen muss wenn ich die Lagebeziehung ermitteln soll:
1.Schritt Die Normalvektoren "übeprüfen" wenn drei gleiche Zahlen für "r"
rauskommen heisst das NICHT SCHLUSSENDLICH SCHON dass dieEbenen parallel sind (so wie ich vorher gedacht hatte) sondern ich muss noch auf die Identität prüfen RICHTIG???
2. Schritt um auf Parallelität und Identiät zu kontrollieren muss ich die erhaltene Zahl für "r" 1/2 mit der Zahl die hinter dem gleicheitszeichen der 2.Ebene ist 12 multiplizieren und gucken ob da die gleiche Zahl raus kommt wie die zahl die hinter dem Gleichheitszeichen der 1. Ebene steht RICHTIGES vorgehen bis jetzt?
3. Kommen da zwei gleiche Zahlen raus 6 = 6 sagt ja aus dass die identisch sind (wahre Aussage) Woran kannst du hier ablesen dass sie nicht nur identisch sondern auch parallel ?
Das gleiche Vorgehen bei den anderen zwei Ebenen mit dem letztendlichen Ergebnis wegen 5 = 6 (unwahre Aussage) die zwei Ebénen sind parallel
Kurz gesagt ist der letzte Schritt mit dem gleichsetzen der "wichtigste" um schlussendlich zu sagen ob sie nun parallel oder identisch sind.. Kam das jetzt so richtig bei mir an?
|
|
|
| |
|
> jetzt wollte ich aber noch mal sicher gehen ob ich dich
> richtig verstanden habe wie ich vorgehen muss wenn ich die
> Lagebeziehung ermitteln soll:
>
> 1.Schritt Die Normalvektoren "übeprüfen" wenn drei
> gleiche Zahlen für "r"
> rauskommen heisst das NICHT SCHLUSSENDLICH SCHON dass
> dieEbenen parallel sind (so wie ich vorher gedacht hatte)
> sondern ich muss noch auf die Identität prüfen
> RICHTIG???
Hallo,
wenn Du gleiche r rausbekommst, dann weißt Du, daß die Geraden entweder parallel und verschieden sind oder
parallel und gleich.
> 2. Schritt um auf Parallelität und Identiät zu
> kontrollieren muss ich die erhaltene Zahl für "r" 1/2 mit
> der Zahl die hinter dem gleicheitszeichen der 2.Ebene ist
> 12 multiplizieren und gucken ob da die gleiche Zahl raus
> kommt wie die zahl die hinter dem Gleichheitszeichen der 1.
> Ebene steht RICHTIGES vorgehen bis jetzt?
Versteh ich gerade nicht...
Doch! jetzt verstehe ichs:
Du multiplizierst so, daß links dasselbe steht.
hat man dann rechts auch dieselbe Zahl, liegen in beiden Ebenen dieselben Punkte.
Also sind sie gleich.
Stehen rechts nach dem Multiplizieren verschiedene Zahlen, so können nicht dieselben Punkte in beiden Ebenen liegen.
Schlimmer: sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
> 3. Kommen da zwei gleiche Zahlen raus 6 = 6 sagt ja aus
> dass die identisch sind (wahre Aussage) Woran kannst du
> hier ablesen dass sie nicht nur identisch sondern auch
> parallel ?
Identische Ebenen sind zwangsläufig parallel, denn ihre Normalenvektoren zeigen in dieselbe Richtung.
Jede Ebene ist parallel zu sich selbst.
>
> Das gleiche Vorgehen bei den anderen zwei Ebenen mit dem
> letztendlichen Ergebnis wegen 5 = 6 (unwahre Aussage) die
> zwei Ebénen sind parallel
echt parallel.
>
> Kurz gesagt ist der letzte Schritt mit dem gleichsetzen der
> "wichtigste" um schlussendlich zu sagen ob sie nun parallel
> oder identisch sind..
Beide Schritte sind wichtig.
Zuerst werden die Normalenvektoren getestet.
Wenn die nämlich keine Vielfachen voneinander sind, kann das Nachdenken über Parallelität beendet werden.
Der andere Schritt sagt einem dann, ob man es mit zwei verschiedenen, echt parallelen Ebenen zu tun hat oder
ob beide Ebenen gleich sind.
LG Angela
> Kam das jetzt so richtig bei mir an?
>
>
>
|
|
|
|
