Lagebestimmung Ebene-Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo MR-Comm,
ich hab mich neuerding etwas gefragt ohne weiteren Kontext, also einer Aufgabe oder Ähnlichem.
Also:
Ich habe eine Ebene E in Parameterdarstellung und einen Punkt A.
ich bilde nun das Kreuzprodukt des Punktes mit den Richtungsvektoren der Ebene. Das Ergebnis sind die neuen Richtungsvektoren für E2 mit dem Stützvektor A. Wie liegt nun eigentlich E2 zu E?
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Fr 19.02.2016 | | Autor: | abakus |
> ich bilde nun das Kreuzprodukt des Punktes mit den
> Richtungsvektoren der Ebene.
Das geht nicht. Man kann nicht das Kreuzprodukt zwischen einem Vektor und einem Punkt bilden.
Was meinst du wirklich an Stelle von "Punkt"?
a) den Ortsvektor des Punktes
b) einen Vektor, der vom Aufpunkt der gegebenen Ebene zu diesem Punkt führt
c) etwas ganz anderes?
Gruß Abakus
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Hallo abakus,
hab mich wohl mathematisch unkorrekt ausgedrückt. Ich meinte den Ortsvektor des Punktes.
Aber langsam hab ich das Gefühl, dass das alles sowieso keinen Sinn macht mit solchen Richtungsvektoren.
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Fulla |
> Hallo abakus,
> hab mich wohl mathematisch unkorrekt ausgedrückt. Ich
> meinte den Ortsvektor des Punktes.
> Aber langsam hab ich das Gefühl, dass das alles sowieso
> keinen Sinn macht mit solchen Richtungsvektoren.
>
> Mfg
Hallo Ulquiorra,
falls du mit "solchen" Richtungsvektoren "Punkte" meinst, hast du vermutlich recht.
In der entsprechenden Form besteht eine Ebene aus zwei Vektoren, bei denen wirklich nur die Richtung entscheidend ist (darum "Richtungsvektoren") und einem Ortsvektor (= "Punkt"), der die Position der Ebene im Raum beschreibt. (Die Richtungsvektoren geben gewissermaßen die Neigung an.)
Wenn man in dem Zusammenhang das Kreuzprodukt bildet, dann von den beiden Richtungsvektoren. Man erhält dann einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht und als "Normale" bezeichnet wird. Diesen braucht man, wenn man z.B. die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersuchen will.
Das Kreuzprodukt von einem Ortsvektor (Punkt) und einem Richtungsvektor ergibt wohl nur in sehr speziellen Aufgabenstellungen Sinn.
Vielleicht konkretisierst du deine Frage noch ein wenig (falls überhaupt notwendig)...?
Lieben Gruß,
Fulla
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Also eine Aufgabenstellung in dem Sinne gibt es nicht.
Aber ich versuch mich mal zu konkretisieren, was ich genau wissen wollte.
also wir haben eine Ebene:
[mm] E_{1} [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + s [mm] \vec {r_{1}} [/mm] + t [mm] \vec {r_{2}} [/mm]
Nun liegt irgendwo der Punkt p mit dem Ortsvektor [mm] \vec{p} [/mm] .
Jetzt stellen wir eine zweite Ebene auf :
[mm] E_{2} [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] + u [mm] \vec {r_{3}} [/mm] + v [mm] \vec {r_{4}} [/mm] ,
wobei [mm] \vec {r_{3}} [/mm] das Kreuzprodukt aus [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec {r_{1}} [/mm] ist und [mm] \vec {r_{4}} [/mm] das Kreuzprodukt aus [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec {r_{2}} [/mm] ist
Und da hatte ich mich gefragt ob man somit irgendwas nützliches berechnet hat.
Ist das überhaupt noch eine Ebene mit dem Unfug da oben?
Ist sie parallel, senkrecht zu [mm] E_{1} [/mm] oder schneidet sie [mm] E_{1} [/mm] einfach nur irgendwie? Oder was ganz anderes vielleicht?
Mfg
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> Also eine Aufgabenstellung in dem Sinne gibt es nicht.
> Aber ich versuch mich mal zu konkretisieren, was ich genau
> wissen wollte.
>
> also wir haben eine Ebene:
> [mm]E_{1}[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + s [mm]\vec {r_{1}}[/mm] + t [mm]\vec {r_{2}}[/mm]
>
> Nun liegt irgendwo der Punkt p mit dem Ortsvektor [mm]\vec{p}[/mm] .
>
> Jetzt stellen wir eine zweite Ebene auf :
> [mm]E_{2}[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{p}[/mm] + u [mm]\vec {r_{3}}[/mm] + v [mm]\vec {r_{4}}[/mm]
> ,
>
> wobei [mm]\vec {r_{3}}[/mm] das Kreuzprodukt aus [mm]\vec{p}[/mm] und [mm]\vec {r_{1}}[/mm]
> ist und [mm]\vec {r_{4}}[/mm] das Kreuzprodukt aus [mm]\vec{p}[/mm] und [mm]\vec {r_{2}}[/mm]
> ist
Hallo,
also ist
[mm] \vec{r_3}=\vec{p}\times\vec{r_1},
[/mm]
[mm] \vec{r_4}=\vec{p}\times\vec{r_2}.
[/mm]
Sofern [mm] \vec{p} [/mm] linear abhängig ist von den beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene, also von [mm] \vec{r_1} [/mm] und [mm] \vec{r_1}, [/mm] bekommst du auf die geschilderte Weise gar keine Ebene, denn mindestens eins beiden Kreuzprodukte ist dann der Nullvektor.
Sind [mm] \vec{p}, \vec{r_1}, \vec{r_2} [/mm] linear unabhängig, zeigt der Normalenvektor von [mm] E_1 [/mm] in Richtung [mm] \vec{p}, [/mm] denn es ist
[mm] \vec{r_3}\times\vec{r_4}=(\vec{p}\times\vec{r_1})\times(\vec{p}\times\vec{r_2})=\vec{p}*det(\vec{p},\vec{r_1},\vec{r_2}).
[/mm]
Die Lage von [mm] E_1 [/mm] zu [mm] E_2 [/mm] hängt also allein von der Wahl des Punktes P ab:
Sind [mm] r_1\times r_2 [/mm] und [mm] \vec{p} [/mm] parallel,
dann sind die Geraden identisch, sofern P in [mm] E_1 [/mm] liegt,
parallel, wenn P nicht in [mm] E_1 [/mm] liegt.
Sind [mm] r_1\times r_2 [/mm] und [mm] \vec{p} [/mm] nicht parallel, dann schneiden sich die beiden Ebenen.
Im Winkel von 90° schneiden sich [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2, [/mm] wenn [mm] \r_1\times r_2 [/mm] orthogonal zu [mm] \vec{p} [/mm] ist.
Dann ist aber [mm] \vec{p} [/mm] linear abhängig von [mm] \vec{r_1} [/mm] und [mm] \vec{r_2},
[/mm]
und ich hatte ja oben schon gesagt: in diesem Fall liefert Deine Konstruktion für [mm] E_2 [/mm] überhaupt keine Ebene.
Das ist das, was mir zum Thema einfällt.
LG Angela
LG Angela
>
> Und da hatte ich mich gefragt ob man somit irgendwas
> nützliches berechnet hat. Hat
> Ist das überhaupt noch eine Ebene mit dem Unfug da oben?
> Ist sie parallel, senkrecht zu [mm]E_{1}[/mm] oder schneidet sie
> [mm]E_{1}[/mm] einfach nur irgendwie? Oder was ganz anderes
> vielleicht?
>
> Mfg
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