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| Aufgabe | Eine Ebene [mm] \varepsilon [/mm] im [mm] \IR^{3} [/mm] kann durch eine Gleichung der Form [mm] $ax_1 [/mm] + [mm] bx_2 [/mm] + [mm] cx_3 [/mm] = d$ mit a; b; c; d [mm] \in \IR [/mm] beschrieben werden.
a) Untersuchen Sie die Lage der Ebenen [mm] \varepsilon_1 [/mm] und [mm] \varepsilon_2 [/mm] zueinander, indem Sie die Lösbarkeit der zugehörigen Gleichungssysteme studieren. Geben Sie jeweils die Schnittmenge der beiden Ebenen an.
i) [mm] \varepsilon_1: x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] \varepsilon_2: x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 2
ii) [mm] \varepsilon_1: 3x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 4
[mm] \varepsilon_2: -6x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = -8
iii) [mm] \varepsilon_1: x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = 1
[mm] \varepsilon_2: -2x_1 [/mm] - [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 3
Hinweis: Zwei Ebenen können sich in einer Geraden schneiden, parallel sein oder gleich sein.
b) Diskutieren Sie allgemein die möglichen Lagen von drei Ebenen im [mm] \IR^{3}. [/mm] |
Aufgabe:
a)i)
[mm] \varepsilon_1: x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] \varepsilon_2: x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 2
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 } \Rightarrow \pmat{ 0 & 1 & 0 & \bruch{2}{3} \\ 1 & 0 & 1 & 2 } \Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] in Gleichung [mm] \varepsilon_1 [/mm] einsetzen [mm] \Righarrow x_3 [/mm] = 2 - [mm] x_1
[/mm]
Lösungsmenge = [mm] \vektor{x_1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 - x_1}
[/mm]
Die zwei Ebenen schneiden sich also in einer Geraden oder?
a)ii)
[mm] \varepsilon_1: 3x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 4
[mm] \varepsilon_2: -6x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = -8
[mm] \pmat{ 3 & -1 & 2 & 4 \\ -6 & 2 & -4 & -8 } \Rightarrow z_2 [/mm] + [mm] 2z_1 \Rightarrow \pmat{ 3 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } \Rightarrow [/mm] Die Ebenen liegen ineinander.
Wie lautet hier die Lösungsmenge?
[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 4 [mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] - 4
Weiter komm ich leider nicht... Kann mir bitte jemand sagen wies weitergeht?
a) iii)
[mm] \varepsilon_1: x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = 1
[mm] \varepsilon_2: -2x_1 [/mm] - [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 3
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ -2 & -4 & 6 & 3 } \Rightarrow \bruch{z_2}{(-2)} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 & -\bruch{3}{2} } \Rightarrow [/mm] Die Ebenen liegen mit dem Abstand [mm] \bruch{5}{2} [/mm] parallel zueinander.
Gut das ist auch leicht ersichtlich. Ich kann die Matrix aber auch anders umformen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ -2 & -4 & 6 & 3 } \Rightarrow z_2 [/mm] + [mm] 2z_1 \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 } [/mm]
Wie sehe ich nun hier, dass die Ebenen parallel zueinander liegen?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Eine Ebene [mm]\varepsilon[/mm] im [mm]\IR^{3}[/mm] kann durch eine Gleichung
> der Form [mm]ax_1 + bx_2 + cx_3 = d[/mm] mit a; b; c; d [mm]\in \IR[/mm]
> beschrieben werden.
>
> a) Untersuchen Sie die Lage der Ebenen [mm]\varepsilon_1[/mm] und
> [mm]\varepsilon_2[/mm] zueinander, indem Sie die Lösbarkeit der
> zugehörigen Gleichungssysteme studieren. Geben Sie jeweils
> die Schnittmenge der beiden Ebenen an.
>
> i) [mm]\varepsilon_1: x_1[/mm] - [mm]3x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
> [mm]\varepsilon_2: x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 2
>
> ii) [mm]\varepsilon_1: 3x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 4
> [mm]\varepsilon_2: -6x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] - [mm]4x_3[/mm] = -8
>
> iii) [mm]\varepsilon_1: x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] - [mm]3x_3[/mm] = 1
> [mm]\varepsilon_2: -2x_1[/mm] - [mm]4x_2[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 3
>
> Hinweis: Zwei Ebenen können sich in einer Geraden
> schneiden, parallel sein oder gleich sein.
>
> b) Diskutieren Sie allgemein die möglichen Lagen von drei
> Ebenen im [mm]\IR^{3}.[/mm]
> Aufgabe:
> a)i)
> [mm]\varepsilon_1: x_1[/mm] - [mm]3x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
> [mm]\varepsilon_2: x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 2
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 } \Rightarrow \pmat{ 0 & 1 & 0 & \bruch{2}{3} \\ 1 & 0 & 1 & 2 } \Rightarrow x_2[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] in Gleichung [mm]\varepsilon_1[/mm] einsetzen [mm]\Righarrow x_3[/mm] = 2
> - [mm]x_1[/mm]
>
> Lösungsmenge = [mm]\vektor{x_1 \\ \bruch{2}{3} \\ 2 - x_1}[/mm]
>
> Die zwei Ebenen schneiden sich also in einer Geraden oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> a)ii)
> [mm]\varepsilon_1: 3x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 4
> [mm]\varepsilon_2: -6x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] - [mm]4x_3[/mm] = -8
>
> [mm]\pmat{ 3 & -1 & 2 & 4 \\ -6 & 2 & -4 & -8 } \Rightarrow z_2[/mm]
> + [mm]2z_1 \Rightarrow \pmat{ 3 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } \Rightarrow[/mm]
> Die Ebenen liegen ineinander.
Genauer gesagt, die Ebenen sind identisch.
>
> Wie lautet hier die Lösungsmenge?
Lösungsmenge ist eine der beiden Ebenen.
> [mm]3x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 4 [mm]\Rightarrow x_2[/mm] = [mm]3x_1[/mm] + [mm]2x_3[/mm] - 4
> Weiter komm ich leider nicht... Kann mir bitte jemand
> sagen wies weitergeht?
>
> a) iii)
> [mm]\varepsilon_1: x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] - [mm]3x_3[/mm] = 1
> [mm]\varepsilon_2: -2x_1[/mm] - [mm]4x_2[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 3
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ -2 & -4 & 6 & 3 } \Rightarrow \bruch{z_2}{(-2)} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 & -\bruch{3}{2} } \Rightarrow[/mm]
> Die Ebenen liegen mit dem Abstand [mm]\bruch{5}{2}[/mm] parallel
> zueinander.
> Gut das ist auch leicht ersichtlich. Ich kann die Matrix
> aber auch anders umformen:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ -2 & -4 & 6 & 3 } \Rightarrow z_2[/mm]
> + [mm]2z_1 \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 }[/mm]
> Wie sehe ich nun hier, dass die Ebenen parallel zueinander
> liegen?
Das siehst Du daran, daß die Ebenengleichungen
keine Vielfache voneinander sind.
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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Danke MathePower,
das heißt ich habe bei a)ii) die Lösungsmenge:
[mm] \vektor{0 \\ -4 \\ 0} [/mm] + [mm] x_1\vektor{1 \\ 3 \\ 0} [/mm] + [mm] x_3\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
?
Zu Punkt 2b)
"Diskutieren Sie allgemein die möglichen Lagen von drei Ebenen im [mm] R^{3}."
[/mm]
1) 1 Ebene schneidet 2 parallel liegende
2) 3 Ebenen schneiden sich
3) 2 bzw. 3 Ebenen liegen ineinander
4) 2 bzw. 3 Ebenen liegen parallel zueinander
Sind das die möglichen Lagen?
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Hallo dreamweaver,
> Danke MathePower,
>
> das heißt ich habe bei a)ii) die Lösungsmenge:
> [mm]\vektor{0 \\ -4 \\ 0}[/mm] + [mm]x_1\vektor{1 \\ 3 \\ 0}[/mm] +
> [mm]x_3\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> ?
Ja.
>
> Zu Punkt 2b)
> "Diskutieren Sie allgemein die möglichen Lagen von drei
> Ebenen im [mm]R^{3}."[/mm]
>
> 1) 1 Ebene schneidet 2 parallel liegende
> 2) 3 Ebenen schneiden sich
> 3) 2 bzw. 3 Ebenen liegen ineinander
> 4) 2 bzw. 3 Ebenen liegen parallel zueinander
>
> Sind das die möglichen Lagen?
Ja, der Fall 1) ist doch im Fall 4) enthalten.
Gruss
MathePower
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Ich danke dir vielmals MathePower!
Lg
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