Lage von Pkt bezüglich k < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | Welche Lage hat der Punkt p bezüglich des Kreises k?
k: [mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2 [/mm] + [mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] 8x_{2} [/mm] + 11 = 0
P (0/0) |
Hallo ihr Lieben!
Heute haben wir mit dem Thema Kreis und Kugel begonnen und unter anderem Aufgaben des oben genannten Typs aufbekommen.
Ich weiß nicht so recht, wie ich da ran zu gehen habe!
Muss ich einfach nur die Koordinaten des Pinktes einsetzen und dann ausrechnen?
Dann kommt ja eine Ungleichung raus, bei dieser Aufgabe dann
[mm] 11\not=0
[/mm]
Was fange ich mir so einer Lösung dann an?
Wäre um jede Hilfe dankbar!!
LG, Amy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Sara66 |
Hallo!
Da ihr ja grad erst mit diesem Thema angefangen seid, hier nochmal eine kleine Hilfe zu Kreisgleichungen:
Allgemeine Form einer Kreisgleichung: [mm] \left( x-x_M\right)^2 [/mm] + [mm] \left(y-y_M \right)^2 \, [/mm] = [mm] \, r^2 [/mm] ,
wobei [mm] x_{m} [/mm] die x-Koordinate des Mittelpunkts ist, [mm] y_{m} [/mm] die y-Koordinate des Mittelpunkts und r der Radius des Punktes.
Vom Prinzip her hast du sowas hier auch stehen.
Nur dass du noch ein bisschen sortieren und dann umformen musst, am besten mit quadratischer Ergänzung!
das wäre hier für [mm] x_{1}: x_{1}^{2}+4*x_{1} [/mm] +4-4
Jetzt überlegst du dir, wie ein Kreis und ein Punkt zueinander liegen können.
1) Der Punkt kann im Kreis sein
2) Der Punkt liegt auf dem Kreis (also mit dem Abstand r vomMittelpunkt)
3) Der Punkt liegt außerhalb des Kreises
jetzt setzt du deinen Punkt (0|0) in deine Gleichung ein
es gibt jetzt 3 verschiedene Möglcihkeiten
das was du eingesetzt hast ist <r, =r, oder >r
Überleg dir das mal und dann kannste gerne weiter fragen ;)
Vg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo!
Dabke erstmal, das war natürlich ein super Tipp!
Daran hatte ich jetzt garnichtmehr gedacht :o)
Die Koordinatengleichung lautet dann also:
[mm] (x_{1}+29^2 [/mm] + [mm] (x_{2}-3)^2=9
[/mm]
M ist dann also M(-2/3) und r=3!
Wenn ich jetzt die Koordinaten von P einsetzen erhalte ich dann folgendes
13=9
oder eben, wenn ich die 9 noch rüberbbringe 4=0!
Wenn ich von der 4 ausgehe, dann wäre die Zahl >r, also läge der Punkt außerhalb des Kreises, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Sara66 |
So, deine Kreisgleichung stimmt leider nciht ganz...
Die sollte lauten:
[mm] (x_{1}+2)^{2}+(x_{2}+4)^{2}=9
[/mm]
Wenn du da jetzt den Punkt (0/0) einsetzt kommst du auf 20=9
Da 20> 9 ist, liegt der Punkt ausserhalb des Kreises. Damit hattest du also recht!
Wie kommst du aber auf die [mm] (x_{2}-3)^{2} [/mm] ???
Schreib das doch bitte mal auf, weil ich glaube da machst du irgendeinen fiesen Fehler!
Vg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Vielen lieben Dank für den Hinweis!
Du hast Recht, ich habe einen Fehler gemacht :o)
Ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben ich Eumel ;o)
Also ich hatte [mm] 6x_{2} [/mm] anstatt 8 und so kam ich bei dcer binomischen Formel auf die Zahlen :oS
Sry!!!
Darf ich dir noch eine kleine Aufgabe bezüglich der gegenseitgen Lage von Kreisen stellen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Sara66 |
Sicher das! Los gehts!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kreise.
Vergleichen Sie dazu den Abstand der Mittelpunkte mit der Summe oder der Differenz der Radien!
[mm] k_1: x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] 6x_1 [/mm] - [mm] 4x_2 [/mm] =12
[mm] k_2: x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] 6x_1 -18x_2 [/mm] +86 = 0 |
Also hier würde ich auch wieder den Ansatz wie eben nehmen, um mir erstmal den Mittelpunkt und den Radius zu errechnen - dazu quadratische Ergänzung, dann komme ich auf diese Koordinatenformen:
[mm] k_1: (x_1+3)^2 [/mm] + [mm] (x_2-2)^2 [/mm] = 25
[mm] M_1 [/mm] (-3/2) [mm] r_1=5
[/mm]
[mm] k_2: (x_1+3)^2 [/mm] + [mm] (x_2-9)^2 [/mm] = 4
[mm] M_2 [/mm] (-3/9) [mm] r_2=2
[/mm]
Stimmt das so erstmal?
Und dann verstehe ich den zweiten Teil der Aufgabe garnicht.
Was soll ich da genau machen und wie genau werden diese beiden Kreise jetzt bezüglich ihrer Lage verglichen?
Muss ich da gleichsetzen oder so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Sara66 |
> Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kreise.
> Vergleichen Sie dazu den Abstand der Mittelpunkte mit der
> Summe oder der Differenz der Radien!
>
> [mm]k_1: x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] + [mm]6x_1[/mm] - [mm]4x_2[/mm] =12
> [mm]k_2: x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] + [mm]6x_1 -18x_2[/mm] +86 = 0
> Also hier würde ich auch wieder den Ansatz wie eben
> nehmen, um mir erstmal den Mittelpunkt und den Radius zu
> errechnen - dazu quadratische Ergänzung, dann komme ich auf
> diese Koordinatenformen:
>
> [mm]k_1: (x_1+3)^2[/mm] + [mm](x_2-2)^2[/mm] = 25
> [mm]M_1[/mm] (-3/2) [mm]r_1=5[/mm]
>
> [mm]k_2: (x_1+3)^2[/mm] + [mm](x_2-9)^2[/mm] = 4
> [mm]M_2[/mm] (-3/9) [mm]r_2=2[/mm]
>
> Stimmt das so erstmal?
das ist richtig! Schön!
> Und dann verstehe ich den zweiten Teil der Aufgabe
> garnicht.
> Was soll ich da genau machen und wie genau werden diese
> beiden Kreise jetzt bezüglich ihrer Lage verglichen?
> Muss ich da gleichsetzen oder so?
Auch hier musst du dir wieder überlegen, wie zwei Kreise zueinander liegen können.
1)Sie schneiden sich in 2 Punkten
2) Sie schneiden sich in 1 Punkt (berühren sich nur!)
3) Ein Kreis liegt im anderen
Jetzt schaust du dir den ABstand der Mittelpunkte an.
Mal angenommen der Abstand wäre 9. jetzt schaust du dir die Summe der beiden Radien an. Die wäre jetzt 6! Was sagt uns das über die Lage??
Zum einfacheren Verständnis mal dir mal alle drei Möglichkeiten auf!
Probiers mal und meld dich dann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Sara66 |
Ich vergaß den 4 Fall: 2 Kreise berühren sich gar nicht!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Also...ich habe mir das jetzt einmal aufgemalt, aber irgendwie glaube ich, dass mein Probelm darin liegt, dass ich garnicht genau weiß WAS mit Abstand der Mittelpunte gemeint ist...
Meint das, wie sie im Koordinatensystem liegen?
Dann lägen sie ja übereinander, weil beide als x-Koordinate -3 haben und jeweils eine andere y-Koordinate, [mm] k_1 [/mm] hat 2 und [mm] k_s [/mm] hat 9, das heißt, wenn ich das so betrachte, hätten sie einen Abstand von 7 auf der y-Achse.
Der Radius von [mm] r_1 [/mm] ist 5 und der von [mm] r_2 [/mm] ist 2 - also auch genau 7, das hieße dann wohl, dss sich die beiden Kreise in genau einem Punkt berühren, oder nicht?!
Aber noch eine andere Frage...
Was ist in der Aufgabenstellung mit "Differenz der Radien" gemeint?
Also, in welchem Fall käme denn eine Differenz zum Tragen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Sara66 |
Zwar sind hier die X werte der beiden Mittelpunkte gleich, jedoch nicht die y-Werte, das heißt sie haben einen Abstand und zwar sieben.
Da die Summe der beiden Radien kleiner als der Abstand der Mittelpunkte ist schneiden sich die beiden Kreise.
Wäre die Differenz der beiden Radien kleiner als der Abstand der Mittelpunkte würden sie ineinander liegen!
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