Lage von Gerade und Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 So 08.01.2006 | | Autor: | MIB |
Hallo,
wie kommt man auf diese Zahlen?
g [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] + t [mm] \vektor{11 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] + t [mm] \vektor{11 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{4 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-3 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Ist das nach dem = die Ebene? Muss diese gegeben sein (Ich weiß nicht wo diese Zahlen her sind??)
[mm] x_1 [/mm] = 2 + 11 t
[mm] x_2 [/mm] = 3 + t
[mm] x_3 [/mm] = 4
2 * (2 + 11 t) - 22 * (3 + t) + 7 * 4 = - 60
-34 = -60
keine Lösung
woher kommen die Zahlen mit denen ich multipliziere(2;-22;7)??
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 So 08.01.2006 | | Autor: | dominik |
Hallo MIB
Ich habe versucht, Deine Aufgabe zu rekonstruieren:
Gerade g in Parameterform: $g: [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{2 \\ 3 \\ 4}+ t*\vektor{11 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
Dies ergibt die drei Komponentengleichungen:
[mm] $x_1= [/mm] 2+11 t$
[mm] $x_2=3+t$
[/mm]
[mm] $x_3=4$
[/mm]
Die Ebene hat die folgende Parameterdarstellung:
[mm] $E:\overrightarrow{x}=\vektor{4 \\ 5 \\ 6}+\lambda \vektor{4 \\ 1 \\ 2}+\mu \vektor{-3 \\ 1 \\ 4}$
[/mm]
Wenn Du $ [mm] \lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] eliminierst, erhältst Du die folgende Koordinatengleichung:
$E: 2x-22y+7z-60=0$ (Vielleicht auch +60, rechne bitte nach)
>
> [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4}+t\vektor{11 \\ 1 \\ 0}= \vektor{4 \\ 5 \\ 6}+ \lambda \vektor{4 \\ 1 \\ 2}+\mu \vektor{-3 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Hier werden Gerade und Ebene miteinander geschnitten (Gleichungssystem)
>
> Ist das nach dem = die Ebene?
Ja, das ist die Ebene;
>Muss diese gegeben sein (Ich weiß nicht wo diese Zahlen her sind??)
Ja, diese Gleichung muss bekannt sein
>
Hier wird die Gerade mit der Koordinatengleichung der Ebene geschnitten:
> $2*(2+11 t)-22*(3+t)+7*4=-60$ (oder +60)
> $-34 = -60$
t fällt weg
>
> keine Lösung
richtig! Damit verläuft die Gerade g parallel zur Ebene
>
Hoffentlich kannst Du damit etwas anfangen!
Viele Grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 So 08.01.2006 | | Autor: | MIB |
> Die Ebene hat die folgende Parameterdarstellung:
> [mm]E:\overrightarrow{x}=\vektor{4 \\ 5 \\ 6}+\lambda \vektor{4 \\ 1 \\ 2}+\mu \vektor{-3 \\ 1 \\ 4}[/mm]
>
> Wenn Du [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] eliminierst, erhältst Du die
> folgende Koordinatengleichung:
> [mm]E: 2x-22y+7z-60=0[/mm] (Vielleicht auch +60, rechne bitte
> nach)
Und wie eleminiert man diese beiden Dinge? Wie lautet der Rechenweg?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 So 08.01.2006 | | Autor: | dominik |
> Und wie eleminiert man diese beiden Dinge? Wie lautet der Rechenweg?
[mm] $E:\overrightarrow{x}=\vektor{4 \\ 5 \\ 6}+\lambda \vektor{4 \\ 1 \\ 2}+\mu \vektor{-3 \\ 1 \\ 4}$ [/mm] (Parametergleichung) [mm] \gdw [/mm] (3 Komponentengleichungen:)
[mm] $x=4+4*\lambda-3* \mu$
[/mm]
[mm] $y=5+1*\lambda+1* \mu$
[/mm]
[mm] $z=6+2*\lambda+4* \mu$
[/mm]
2. Gleichung mit 3 erweitern und mit der 1. addieren:
[mm] $3y=15+3*\lambda+3* \mu$
[/mm]
[mm] $x=4+4*\lambda-3* \mu$
[/mm]
[mm] 3y+x=19+7*\lambda
[/mm]
2. Gleichung mit 4 erweitern und davon die 3. wegzählen:
[mm] $4y=20+4*\lambda+4* \mu$
[/mm]
[mm] $z=6+2*\lambda+4* \mu$
[/mm]
[mm] $4y-z=14+2*\lambda$ [/mm] mal 7
[mm] $3y+x=19+7*\lambda$ [/mm] von oben mal 2
[mm] $28y-7z=98+14*\lambda$
[/mm]
[mm] $6y+2x=38+14*\lambda$ [/mm] wegzählen
$22y-7z-2x=60$
$ [mm] \gdw [/mm] 22y-7z-2x-60=0$
Dies ist die Koordinatengleichung der Ebene.
Viele Grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 09.01.2006 | | Autor: | MIB |
Hallo,
leider versteh ich es nicht.
Wieso wird beim ersten Schritt (2. Gleichung mit 3 erweitern und mit der 1. addieren:) auch eine andere Zeile verändert?
Woher weiß man, welche Zahlen man nehmen muss, mit was addiert und multipliziert wird?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mo 09.01.2006 | | Autor: | dominik |
Hallo MIB
Zuerst werden aus der Parametergleichung der Ebene (Darstellung mit Vektoren) die drei Komponentengleichungen x=..., y=..., z=... gebildet.
Anschliessend werden die beiden Paramter [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] eliminiert:
Irgend zwei der drei Gleichungen werden so erweitert, dass sie einen gleichen [mm] \lambda- [/mm] oder [mm] \mu-Wert [/mm] haben. Werden diese Gleichungen von einander weggezählt beziehungsweise mit einander addiert, fällt der betreffende Parameter weg.
Wird das ein zweites Mal gemacht, fällt der gleiche Parameter nochmals weg. In beiden Gleichungen verbleibt der gleiche Parameter. Nun kann man diesen mit dem gleichen Verfahren eliminieren, und am Schluss bleibt eine Gleichung mit x, y und z. Dies ist dann die Ebenengleichung in Koordinatenform.
Schneller gehts natürlich mit dem Verfahren von sefauchi "Lösung in Worten" mit Hilfe des Vektorproduktes der beiden Richtungsvektoren, das den Normalenvektor zur Ebene liefert und dieser wiederum schnell die Gleichung der Ebene.
Ich hoffe, dass die Beschreibung klar genug ist!
Viele Grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 09.01.2006 | | Autor: | MIB |
Bei "Lösung in Worten" weiß ich trotzdem nicht, wie man auf 2/-22/7 kommt. Und sonst weiß ich es auch leider nicht. Leider versteh ich den eigentlichen Rechnungsweg nicht.
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Hallo,
offensichtlich wurden in der Aufgabe eine Gerade und eine Ebene gegeben. Beide in Parametergleichungen. Desweiteren wurden Lagebeziehungen erfragt. Dann wurden die Gleichungen gleichgesetzt, um einen Durchstoßpunkt von der Geraden durch die Ebene zu ermitteln, jedoch ohne Ergebnis.
Durch das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren [mm] \vektor{4\\1\\2} [/mm] und [mm] \vektor{-3\\1\\4} [/mm] kannst Du den Normalenvektor zur Ebene ermitteln: [mm] \vektor{2\\-22\\7}. [/mm] Diese Vektorkoordinaten findest Du auch in der Koordinatengleichung der Ebene.
Wenn man jetzt den Normalenvektor [mm] \vektor{2\\-22\\7} [/mm] und den Richtungsvektor [mm] \vektor{11\\1\\0} [/mm] betrachtet, stellt man fest, dass sie senkrecht zu einander stehen, d.h. die Gerade ist mindestens parallel zur Ebene und wenn der Punkt (2;3;4) zufällig auf der Ebene liegt, dann liegt die Gerade sogar in der Ebene.
Die lange Rechnung hätte man sich auch sparen können.
Meine Nachhilfeschülerin fand den Weg auch einfacher.
Herzliche Grüße!
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