Lage von Gerade und Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] ga:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 6}+t*\vektor{a \\ 1-a \\ -a}
[/mm]
[mm] E:\vektor{\vec{x}-\vektor{1 \\ 1 \\ 0}}*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}=0
[/mm]
d) Für welchen Wert von a steht die Gerade ga senkrecht auf der Ebene E?
e) Zeigen Sie, dass keine Gerade der Schar ga parallel zur Ebene E verläuft.
f) Bestimmen Sie die Gleichung der senkrechten Projektion von g1 auf die Ebene E. |
Hallo,
habe die o.g. Aufgaben bearbeitet, leider kann ich meine Lösungen mit keiner anderen Quelle abgleichen, darum bitte ich euch um eine kurze Kontrolle und evtl. Berichtigung.
zu d) Ein Vektor steht orthogonal auf einen anderen Vektor, wenn das Skalarprodukt beider Vektoren = 0 ist.
Habe ein Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren von der Geraden und Ebene gebildet: raus kam dann 2=0, womit es kein a gibt und so kein Vertreter der Schar niemals rechtwinklig auf der Ebene steht.
zu e) Habe von der Erkenntnis von d) heraus geschlossen, dass es in der Tat nicht möglich ist, da zwischen Parallelen es immer senkrechte Gerade gibt.
Hier würde ich aber bitte um eine Erläuterung bitten.
zu f) Eine Senkrechte Projektion einer Geraden auf einer Ebene ist eine Gerade, die in der Ebene liegt. (also echt parallel)
Nach Recherchen habe ich folgendes gemacht: habe den Schnittpunkt der Geraden g1 und E errechnet. S (2/2/3)
Dann habe ich mir einen Hilfspunkt in der Ebene genommen. H (1/1/0)
Danach konnte ich aus beiden Punkten eine Gerade bilden:
[mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 2 \\ 3}+w*\vektor{-1 \\ -1 \\ -3}
[/mm]
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> [mm]ga:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 6}+t*\vektor{a \\ 1-a \\ -a}[/mm]
>
> [mm]E:\vektor{\vec{x}-\vektor{1 \\ 1 \\ 0}}*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}=0[/mm]
>
> d) Für welchen Wert von a steht die Gerade ga senkrecht
> auf der Ebene E?
> e) Zeigen Sie, dass keine Gerade der Schar ga parallel zur
> Ebene E verläuft.
> f) Bestimmen Sie die Gleichung der senkrechten Projektion
> von g1 auf die Ebene E.
Hallo,
> zu d) Ein Vektor steht orthogonal auf einen anderen Vektor,
> wenn das Skalarprodukt beider Vektoren = 0 ist.
Das stimmt.
> Habe ein Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren von
> der Geraden und Ebene gebildet: raus kam dann 2=0, womit es
> kein a gibt und so kein Vertreter der Schar niemals
> rechtwinklig auf der Ebene steht.
Vorsicht:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] ist ein Normalenvektor der Ebene, also ein Vektor, der senkrecht zur Ebene ist.
Und Du suchst nun das a, für welches [mm] g_a [/mm] senkrecht zur Ebene ist.
Welche Richtung muß der Richtungsvektor der Geraden [mm] g_a [/mm] haben?
Muß er wirklich senkrecht zu [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] sein? Nein...
> zu e)
> Hier würde ich aber bitte um eine Erläuterung bitten.
Wie gesagt: [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] ist senkrecht zur Ebene.
Also ist dieser Vektor auch senkrecht zu den Richtunngsvektoren sämtlicher Geraden, die parallel zur Ebene sind.
Für die zur Ebene parallelen Geraden der Schar gilt also [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1}*\vektor{a \\ 1-a \\ -a}=0,
[/mm]
und hierfür hattest Du bereits ausgerechnet, daß es nicht möglich ist. (Bloß Deine Rechnung paßte nicht zu der in d) gestellten Frage.)
>
> zu f) Eine Senkrechte Projektion einer Geraden auf einer
> Ebene ist eine Gerade, die in der Ebene liegt. (also echt
> parallel)
> Nach Recherchen habe ich folgendes gemacht: habe den
> Schnittpunkt der Geraden g1 und E errechnet. S (2/2/3)
Richtig.
> Dann habe ich mir einen Hilfspunkt in der Ebene genommen. H
> (1/1/0)
> Danach konnte ich aus beiden Punkten eine Gerade bilden:
> [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 2 \\ 3}+w*\vektor{-1 \\ -1 \\ -3}[/mm]
Nein. Du hast jetzt irgendeine Gerade in der Ebene berechnet.
Berechnen sollst Du aber den "Schatten", den man erhält, wenn [mm] g_1 [/mm] senkrecht zur Ebene beleuchtet wird, also auf die Ebene E projiziert.
"Senkrecht beleuchtet": das Licht fällt in Richtung [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] ein.
Berechne nun den "Schattenpunkt", den Lotfußpunkt eines Punktes der Geraden, etwa den des Stützvektors,
indem Du durch diesen Punkt eine Gerade legst, die senkrecht zu E ist, und welche Du dann mit E zum Schnitt bringst.
Nun hast Du zwei Punkte der projizierten Gerade und kannst ihre Gleichung aufstellen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 16.03.2014 | | Autor: | Ne0the0ne |
Hallo,
konnte d) und e) berichtigen.
zu d) Habe zwei Skalarprodukte des Richtungsvektores der Geraden mit den Richtungsvektoren der Ebenen berechnet.
Bei beiden kam a=1/3 heraus.
Bei f) verlässt mich leider mein Verständnis, trotzdem schreibe ich mal meine Gedanken auf.
Habe jetzt den S (2/2/3) und g1 aufgeschrieben.
Meine Idee war jetzt, vom Normalenvektor der Ebene einen rechtwinkligen Vektor (also noch ein Normalenvektor?) aufzustellen mittels [mm] \vec{a} [/mm] x [mm] \vec{b}=0
[/mm]
Wenn ich diesen neuen Normalenvektor habe, würde ich daraus die Gerade formen: [mm] \vec{x}= \vektor{2 \\ 2 \\ 3}+w*\vec{b}
[/mm]
Falls es jetzt nicht stimmen sollte und es möglich ist, würde ich gerne den Lösungsweg sehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 So 16.03.2014 | | Autor: | Ne0the0ne |
Hallo,
leider bin ich mir nun auch nach dem Rechnen nicht sicher, ob es richtig ist.
Bitte um Antwort auf den letzten Post.
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