Lage einer Gerade und einer Eb < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche die Lage g und einer Ebene E anhand folgender Beispiele.
a) g: x= (2/1/5)+ k(1/-2/0) und E:x= (-2/2/7)+p(1/1/0)+q(1/0/-1) |
Es ist ein Arbeitsauftrag, mit Ufgaben die wir so noch nicht gerechnet haben. Ich bin sehr schlecht und habe keine Ahnung wie man soetwas macht. Dies ist jetzt nur Aufgabe a, aber die Anderen sind ähnlich. Wenn jemand so nett wäre diese Aufgabe zu zeigen, krieg ich die Andern allein hin. Ich habe leider nur etwas gefunden, wie man es rechnet wenn E drei Parameter enthält.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich weiß nicht, in wie weit du schon Ebenengleichungen ineinander umformen kannst, denn mit der Koodinatenform der Ebene gehen solche Schnittaufgaben am schnellsten.
Aber du kannst es natürlich auch anders machen, ohne, dass du irgendetwas umformst.
Du kannst Gerade und Ebene einfach gleichsetzen und nach den 3 Parametern auflösen.
g=E
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 5}+k\vektor{1 \\ -2 \\ 0}=\vektor{-2 \\ 2 \\ 7}+p\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+q\vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Daraus kannst du dann ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (k, p, q) und 3 Gleichungen machen.
Schaffst du das?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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ja das kann ich schon. ich erhalte dann drei gleichungen. diese muss ich ja dann wahrscheinlich in der matrixfunktion des taschenrechners berechnen oder? dann erhalte ich die werte für die parameter und kann diese einfach einsetzen in die anfangsgleichung. aber was bedeuten denn welche ergebnisse? Wie erkenne ich dann die lage?
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Hallo Julia,
du könntest aber auch mal die Gleichungen einfach so aufschreiben. Dann erkennst du sicher, dass die letzte Gleichung nur noch aus dem Parameter q und einer Zahl besteht.
Lösen dann die zweite Gleichung nach p auf und setze beides in die erste Gleichung ein.
Dann das ganze Spiel rückwärts: k in Gleichung zwei; p ermitteln - theoretisch fertig 
Ich habe es aber nicht nachgerechnet, ob es überhaupt eine Lösung gibt.
Gruß
Adamantan
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also wenn ich das ganze in gleichungen aufschreibe erhalte ich folgendes: k-p-q=0, -2k-p=1, q=2
ist es dann so richtig?: k= -1,5, p= -3,5, q= 2.
und diese werte setze ich jetzt in die anfangsgleichung ein. das errechne ich dann. aber was erkenne ich dann am ergebnis? Welches ergebnis verrät mir welche Lage?
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Also wenn ich das in die Gleichungen einsetze erhalte ich folgende Lösung. Für die Gleichung mit dem Parameter k erhalte ich (0,5/4/5). Für die Glöeichung mit den Partametern p und q erhalte ich (-3,5/-1,5/5). Was bedeutet das denn jetzt für die Lage?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 29.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Siehe meine andere Antwort.
Sollte dann 2mal der selbe Punkt rauskommen :)
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Do 29.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich komme auf andere Werte! Ich sag sie dir einfach mal: k=-1, p=1, q=2.
Das Ergebnis sagt dir folgendes: Wenn du in deine Geradengleichung für k die -1 einsetzt, kommst du zum selben Punkt, als wenn du in der Ebenengleichung für p=1 einsetzt und für q=2 einsetzt (kannst es ka probieren!). Das heißt also, dass sich Gerade und Ebene schneiden! Und den Punkt kannst du ja, wie eben erwähnt, ermitteln.
Teufel
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| Aufgabe | | siehe anfang der frage |
ok ich verstehe das grundsätzlich jetzt. darfür erstmal danke. allerdings bin ich meine rechung mehrmals durchgegangen und komme nicht auf die richtigen parameter. eigentlich kann ich das, ich verstehs selbst nich wirklich. kann vielleicht irgendjemand mal aufzeigen wie man zu den werten k und p gelangt? ich habe das so:
2+k=-2+p+q
1+(-2k)=2+p
5=7-q
dann habe ich das ganze volgendermaßen zusammengefasst:
2+k=-2+p+q /-p/-q/+2
k-p-q=0
1-2k=2+p /-p/-1
-2k-p=1
5=7-q /+q/-5
q=2
Mit GTR und Matrixfunktion:
Mtrix: 1 0 0 0,3333
0 1 0 -1,66
0 0 1 2
Demnach: k= 0,3333 p= -1,66 q= 2
wo ist mein fehler?
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Hallo Julia,
> siehe anfang der frage
> ok ich verstehe das grundsätzlich jetzt. darfür erstmal
> danke. allerdings bin ich meine rechung mehrmals
> durchgegangen und komme nicht auf die richtigen parameter.
> eigentlich kann ich das, ich verstehs selbst nich wirklich.
> kann vielleicht irgendjemand mal aufzeigen wie man zu den
> werten k und p gelangt? ich habe das so:
> 2+k=-2+p+q
> 1+(-2k)=2+p
> 5=7-q
> dann habe ich das ganze volgendermaßen zusammengefasst:
> 2+k=-2+p+q /-p/-q/+2
> k-p-q=0
und das ist verkehrt, denn du hast das Vorzeichen von der 2 vertauscht; es muss heißen [mm] \red{-}2 [/mm] und dann steht rechts -4
> 1-2k=2+p /-p/-1
> -2k-p=1
>
> 5=7-q /+q/-5
> q=2
das ist beides richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Adamantan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Adamantan |
Hallo,
dein Gleichungssystem ist lösbar und die Lösungen sind alle ganzzahlig 
Gruß
Adamantan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Do 29.05.2008 | | Autor: | aram |
> siehe oben
> ja das kann ich schon. ich erhalte dann drei gleichungen.
> diese muss ich ja dann wahrscheinlich in der matrixfunktion
> des taschenrechners berechnen oder? dann erhalte ich die
> werte für die parameter und kann diese einfach einsetzen in
> die anfangsgleichung. aber was bedeuten denn welche
> ergebnisse? Wie erkenne ich dann die lage?
Hallo Julia!
Es gibt 3 unterschiedliche gegenseitige Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene.
1. g und E schneiden sich im Punkt S
2. g verläuft echt parallel zu E
3. g verläuft in der Ebene E
Egal welches Verfahren du wählst (gleichsetzen oder einsetzen), letztlich must du ein Gleichungssystem lösen und je nach dem, was du als Ergebnis erhälst, erkennst du die gegenseitige Lage.
Hat dein LGS genau eine Lösung, dann schneiden sie sich.
Hat es keine Lösung, dann sind sie echt parallel zueinander.
Gibt es unendlich viele Lösungen, dann verläuft die Gerade in der Ebene.
Hoffe konnte weiterhelfen.
Mfg Aram
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