Lage: Geraden und Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Di 11.10.2005 | | Autor: | Anna17 |
Guten morgen!, ich schreibe nächste Woche eine Klausur, mein Mathelehrer hat uns Seiten zum lernen aufgegeben, die wir noch nie besprochen habe. Bei einer Aufgabe zu der Gegenseitigen Lage einer Geraden und einer Ebene komme ich einfach nicht voran.
g:x= [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
E: x= [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1 } [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1 }+ \nu [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 1 }
[/mm]
Lösung: v= [mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 7 } [/mm] S(-3/8/1)
Da wir diese Aufgaben wie schon gesagt nie besprochen haben, habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Wie berechne ich die gegenseitige LAge einer Geraden und einer Ebene am einfachsten???? bitte helft mir...danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Di 11.10.2005 | | Autor: | statler |
Guten Tag Anna!
> Guten morgen!, ich schreibe nächste Woche eine Klausur,
> mein Mathelehrer hat uns Seiten zum lernen aufgegeben, die
> wir noch nie besprochen habe. Bei einer Aufgabe zu der
> Gegenseitigen Lage einer Geraden und einer Ebene komme ich
> einfach nicht voran.
>
> g:x= [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
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> E: x= [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -1 }[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1 }+ \nu[/mm]
> * [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ 1 }[/mm]
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> Lösung: v= [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 7 }[/mm] S(-3/8/1)
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> Da wir diese Aufgaben wie schon gesagt nie besprochen
> haben, habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Wie
> berechne ich die gegenseitige LAge einer Geraden und einer
> Ebene am einfachsten???? bitte helft mir...danke
Aber gerne! Wie können denn eine Ebene und eine Gerade im Raum zueinander liegen? Es gibt 3 Möglichkeiten: Sie haben einen Punkt gemeinsam, oder sie haben viele Punkte gemeinsam (dann liegt die Gerade in der Ebene), oder sie haben nichts von beiden. Im letzteren Fall sagt man, daß die Gerade parallel zur Ebene liegt.
Wie prüft man, ob es einen gemeinsamen Punkt gibt? Dann muß es
[mm]\lambda[/mm], [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] geben mit
[mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -1 }[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1 }+ \nu[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ 1 }[/mm],
und das wiederum führt zu 3 Gleichungen (Koordinaten gleichsetzen!) für [mm]\lambda[/mm], [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm].
Damit kann man dann (durch Einsetzen) den Schnittpunkt S berechnen, ich habe das hier nicht getan, sondern hoffe, daß er stimmt. Je nach der Lösungsmenge dieses Gleichungssystems liegt einer der 3 obigen Fälle vor.
Was v ist, weiß ich im Moment nicht. Es könnte bei einem Schnittpunkt noch sein, daß die Gerade senkrecht auf der Ebene steht. Habt ihr das schon gemacht? Das kann man mit dem Skalarprodukt zwischen dem Richtungs- und den beiden Spannvektoren prüfen.
Gruß aus HH-Harburg und Mittaaach
Dieter
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