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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:04 Di 30.12.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe |
Berechnen Sie jeweils die Relationen der Geraden g und h !
[mm] a)$g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}$ $h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}$
[/mm]
[mm] b)$g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}$ $h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3}$
[/mm]
[mm] c)$g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+r\cdot\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}$ $h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3}$
[/mm]
[mm] d)$g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}+r\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}$ [/mm] $ [mm] h:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 6 \\ 6}+s\cdot\vektor{2 \\ -4\\ -6}$
[/mm]
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[mm] a)g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2} h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}
[/mm]
Relationen = Lage der Geraden g und h
a)1. g und h kollinear ?
gilt [mm] r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{-2 \\ -2 \\ 4} [/mm] ?
Ja, für r=-2, damit sind g und h parallel
a)2. g und h identisch ?
gilt [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] ?
Nein !, es gibt kein r, dass alle 3 lineare Gleichungen erfüllt. Der Ortsvektor der 2.Gerade liegt nicht auf der ersten Gerade.
[mm] b)g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2} h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3}
[/mm]
b)1. g und h parallel ?
gilt [mm] r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{2 \\ 2\\ -3} [/mm] ?
Nein !, für r kommen 2 vesrchiedene Werte heraus: 2 und [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Also auch nicht identisch !
b)3. Gibt es einen Schnittpunkt ?
gilt: [mm] \overrightarrow{S}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3} [/mm] ?
Ja, es gibt ein r=2 und ein s=1, die das LGS erfüllen !
Der Schnittpunkt wird berechnet, indem man r oder s in die jeweilige Geradengleichung einsetzt (am besten in beide, um mögliche falsche Ergebnisse feststellen zu können !)
ich setze r in die 1.Geradengleichung ein:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+2\cdot\vektor{1 \\ 1\\ -2}=\vektor{3 \\ 2\\ -3} [/mm] und nun s in die 2.Geradengleichung:
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+1\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3}=\vektor{3 \\ 2\\ -3} [/mm] stimmt, damit gibt es den Schnittpunkt S (3|2|-3)
[mm] c)g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}+r\cdot\vektor{-2 \\ -2 \\ 4} h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s\cdot\vektor{2 \\ 2\\ -3}
[/mm]
g und h sind nicht parallel (die Richtungsvektoren sind linear nicht abhängig), es gibt auch keinen Schnittpunkt, g und h sind windschief !
[mm] d)g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}+r\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ 3} h:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 6 \\ 6}+s\cdot\vektor{2 \\ -4\\ -6}
[/mm]
d)1. g und h parallel ?
ja, es gilt: [mm] r\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{2 \\ -4\\ -6} [/mm] für r=-2
d)2. g und h identisch ?
Nein !, [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}+r\cdot\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-1 \\ 6 \\ 6} [/mm] ergibt kein r, das alle lineare Gleichungen erfüllt ! hier hatte ich laut Loddar Unrecht ! es gibt ein r=2, also sind g und h auch identisch ! Danke Schorsch
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 So 26.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schachschorsch!
Die Aufgaben a.) bis c.) hast Du korrekt gelöst.
Bei Aufgabe d.) erhalte ich jedoch "identisch". Setze in Deine letzte Gleichung den Wert $r \ = \ 2$ ein.
Gruß
Loddar
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