Länge von Winkelhalbierenden < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei ein Dreieck abc gegeben und es bezeichne x die Länge der
Seite bc, y die Länge der Seite ac und z die Länge der Seite ab.
Die Winkelhalbierende durch die Ecke a treffe die Seite bc im Punkt n. Berechnen Sie die Länge [mm] \overline{an} [/mm] in Abhängigkeit der Seitenlängen x, y und z. |
Hallo,
kann mir jemand dabei behilflich sein, die Aufgabe ohne die Beziehung von Stewart zu lösen ? Den Satz hatten wir in der Vorlesung nämlich noch nicht, wir haben jedoch Gleichungen für Winkelhalbierende und ihre Schnittpunkte.
Vielleicht kann man benutzen, dass diese Winkelhalbierende die Seite bc in dem selben Verhältnis teilt, wie ab:ac, aber ich habe keine Ahnung, wie man die Formel für die Länge von Winkelhalbierenden herleiten kann.
Besten Dank.
PS: Ich habe diese Frage sonst nirgends gestellt.
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> kann mir jemand dabei behilflich sein, die Aufgabe ohne die
> Beziehung von Stewart zu lösen ? Den Satz hatten wir in
> der Vorlesung nämlich noch nicht, wir haben jedoch
> Gleichungen für Winkelhalbierende und ihre Schnittpunkte.
> Vielleicht kann man benutzen, dass diese Winkelhalbierende
> die Seite bc in dem selben Verhältnis teilt, wie ab:ac,
> aber ich habe keine Ahnung, wie man die Formel für die
> Länge von Winkelhalbierenden herleiten kann.
du könntest es mit Winkelfunktionen lösen, falls erlaubt. Berechne die Winkel mit Hilfe des Kosinussatzes, dann hast du am Dreieck ABN die Seite z und zwei Winkel, da kosst du mit dem Sinussatz direkt zu der gewünschten Länge.
Gruß, Diophant
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Es sind ja keine Zahlen gegeben, dann liefert mir der Kosinussatz doch eine Gleichung mit [mm] \cos \alpha [/mm] , den ich nicht weiterverwenden kann.
Ansonsten darf man die Winkelfunktionen benutzen.
Folgendes haben wir noch im Skript:
Richtungsvektor der Winkelhalbierenden durch den Punkt a :
[mm] \bruch{1}{z}(b-a)+\bruch{1}{y}(c-a)
[/mm]
(a,b,c sind die Ecken und x,y,z die Seiten)
Wenn ich den Betrag davon nehmen würde, hätte ich die Länge vom Richtungsvektor der Winkelhalbierenden. Wäre das auch die richtige Länge vom Winkelhalbierenden ?
edit:
Das mit den Winkelfunktionen müsste eigentlich klappen, aber mir hakt es ein wenig daran, dass sih die [mm] \cos [/mm] nicht gegenseitig aufheben oder so.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die Richtung von Wh mach daraus nen Einheitsvektor [mm] e_w
[/mm]
dann ist [mm] r*e_w [/mm] = AN dann hast du 2 Beziehungen die Summe der Vektoren=0 daraus [mm] r*e_w [/mm] als Summe von Seitenvektoren. (r ist die gesuchte länge.
ich habs nicht zu Ende gerechnet, aber vielleicht klappt es.
es ist unpraktisch Eckpunkte und seitenlängen mit kleinen buchstaben zu bezeichnen, das bringt zumindest mich durcheinander. bezeichnet ihr Dreiecke immer so?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Di 01.05.2012 | | Autor: | imagemixer |
Ja, die Eckpunkte heißen a,b,c und die Seiten x,y,z.
Welche Summe ist genau null ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Di 01.05.2012 | | Autor: | weduwe |
man könnte auch so vorgehen:
(mit den üblichen buchstaben für die eckpunkte wie im bilderl  )
mit dem strahlensatz zeigt man die eh bekannte beziehung
[mm](1)\quad{}BN=\frac{z}{y+z}x[/mm]
sowie [mm](2)\quad{ }AN=\frac{2yz}{y+z}cos\alpha[/mm]
der cosinussatz im 3eck [mm] \Delta{ABN} [/mm] ergibt nun
[mm](3)\quad{ }BN^2=AN^2+z^2-2AN\cdot z\cdot cos\alpha[/mm]
einsetzen von (1) und (2) liefert AN=AN(x,y,z)
(stichwort wäre auch: satz von stewart)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 01.05.2012 | | Autor: | weduwe |
steht eh oben
mit dem strahlensatz
AB : BD = AN : CD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Di 01.05.2012 | | Autor: | imagemixer |
Hat mit Kosinussatz und Strahlensatz geklappt. Einfach zwei Gleichungen mit dem Kosinussatz aufgestellt, wo [mm] \cos\alpha [/mm] drin vorkommt. Dann die eine nach [mm] \cos\alpha [/mm] umgeformt und in die andere eingesetzt und schließlich
[mm] \overline{bn} [/mm] nach dem Strahlensatz substituiert.
[mm] \overline{an} [/mm] = [mm] \wurzel{yz(1-\bruch{x^2}{(y+z)^2} )}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Di 01.05.2012 | | Autor: | weduwe |
das ergebnis ist korrekt![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
wobei allerdings [mm] \alpha\to\frac{\alpha}{2} [/mm] zu ersetzen ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Di 01.05.2012 | | Autor: | imagemixer |
Ahso, ja ich habe einfach den halben Innenwinkel bei a als [mm] \alpha [/mm] definiert, dann passt das.
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Warum kommt denn in dem Strahlensatz [mm] \cos\alpha [/mm] vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 01.05.2012 | | Autor: | weduwe |
berechne CD
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