Länge eines Weges < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 12.07.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | | Veranschauliche den Weg [mm] \gamma [/mm] mit der Parameterdarstellung [mm] z(t) = 1 + i \cos t, 0 \le t \le 2\pi[/mm], und berechne seine Länge. |
Hi,
ich wollte nur wissen ob ich diese Aufgabe so richtig rechne:
Die Länge eines Weges berechne ich ja mit:
[mm]l(\gamma) = \integral_{a}^{b}{|z'(t)| dt} [/mm]
Dann rechne ist:
[mm]l(\gamma) = \integral_{0}^{2\pi}{|-i \sin(t) | dt} [/mm]
[mm]l(\gamma) = \integral_{0}^{2\pi}{\sin(t) dt} [/mm]
[mm]F(t) = - \cos(t) [/mm]
[mm]l(\gamma) = F(2\pi) - F(0) = -1 - (-1) = 0 [/mm]
Ich mein wenn man sich die Kurve anschaut sieht man ja auch, dass sie von (1 + i) nach (1 - i) und wieder zurück läuft (glaub ich), aber hat sie deshalb wirklich die Länge 0?
Danke,
Jonas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Do 12.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du den Weg richtig beschreibst, kannst du seine Länge doch ohne Integral ausrechnen:4
wenn du unbedingt integrieren musst wirklich den Betrag und [mm] |sint|\ne [/mm] sint!!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Do 12.07.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
okay ist verständlich.
ich hatte noch gerechnet:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|-i \sin(t) | dt} = \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{\sin^{2}(t)} dt} = \integral_{0}^{2\pi}{\sin(t) dt} [/mm], aber das stimmt wohl nicht...
Müsste ich dann doch diese Wurzelfunktion integrieren oder kann man das einfacher machen? ... also wenn ich jetzt wirklich das Integral ausrechnen muss und man es nicht so einfach sieht.
Danke,
Jonas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Do 12.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
So einfach kannst du den Betrag nicht austricksen. Du sollst beachten, dass [mm] \sin(t) [/mm] für [mm] t\in [0;\pi] [/mm] positiv ist und auf [mm] [\pi; 2\pi] [/mm] - negativ. Daher ist es auch kein Wunder, dass bei dir Null rauskommt. Du solltest so rechnen:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|-i\sin(t)| dt}=\integral_{0}^{\pi}{i\sin(t) dt}-\integral_{\pi}^{2\pi}{i\sin(t) dt} =2i\integral_{0}^{\pi}{\sin(t) dt}.
[/mm]
In dem zweiten Ausdruck hat der zweite Integral einen negativen Wert, da man aber über dem Betrag der Funktion integriert, addiert man zu dem ersten Integral den absoluten Wert - man muss also den zweiten Integral mit -1 multiplizieren. Wenn du dir den Graphen der Funktion |sin(t)| auf [mm] [0;2\pi] [/mm] anschaust, wird das klar, hoffe ich.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Fr 13.07.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
danke. Ja das macht Sinn.. hoffentlich bekomm ich das in der nächsten Prüfung auch so hin.
Danke !!
Jonas
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