Ladung in einer Kugel < Elektrik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 So 11.04.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo an alle!
Mir fehlen leider bei folgender Aufgabe Ideen zur Lösung:
Ich habe die Ladungsdichte [mm] \rho(\vec{r})=q*\delta(\vec{r})-\bruch{q*\lambda^2}{4\pi*r}*e^{-\lambda*r}, [/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] und q konstant sind, gegeben.
Jetzt soll die Ladung in einer Kugel um den Ursprung mit Radius R sowie die Ladung im gesamten Raum berechnet werden.
Es ist ja [mm] Q=\rho(\vec{r})d^3r, [/mm] wo ich obiges eingesetzt und gleich in zwei Integrale zerlegt habe.
[mm] Q=q*\integral_{}^{}{\delta(\vec{r}) d^3r}-\bruch{q*\lambda^2}{4\pi*r}*e^{\lambda*r}*\integral_{}^{}{1 d^3r}=q*1-\bruch{q*\lambda^2}{4\pi*r}*e^{\lambda*r}*\vec{r}
[/mm]
Da bin ich mir allerdings nicht sicher, ob das so richtig ist...
Bei der Berechnung der Ladung im gesamten Raum fehlt mir leider komplett der Ansatz. In der Aufgabe wird nur auf Kugelkoordinaten hingewiesen...
Kann jemand mir helfen???
Grüße von mathiko
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Hallo mathiko,
> [mm] $Q=q\int_{}^{}{\delta(\vec{r}) d^3r}-\frac{q\lambda^2}{4\pi r} e^{-\lambda r} \int_{}^{}{1 d^3r}=q 1-\frac{q*\lambda^2}{4\pi r} e^{-\lambda r} \vec{r}$ [/mm]
> Da bin ich mir allerdings nicht sicher, ob das so richtig ist...
Deine Unsicherheit ist berechtigt:
Das $r$ muss schön unter dem [mm] "'$d^3\vec{r}$ [/mm] Integral"' bleiben:
[mm] $Q=q\int_{}^{}{\delta(\vec{r}) d^3r}-\frac{q\lambda^2}{4\pi} \int_{}^{}\frac{e^{-\lambda r}}{r} d^3\vec{r}$. [/mm]
Wenn man jetzt noch beim zweiten Summanden [mm]d^3\vec{r}[/mm] in Kugelkoordinaten [mm] r^2 sin \theta d\theta dr d\varphi[/mm] darstellt, wird es eigentlich ganz leicht oder?
Gruß mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 11.04.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo mathfunnel,
naja, einfach ist relativ...
Also:
[mm] Q=q*\integral_{0}^{R}{\delta(\vec{r})dr}*\integral_{0}^{\pi}{sin\theta d\theta}*\integral_{0}^{2\pi}{ d\phi}-\frac{q\lambda^2}{4\pi}*\integral_{0}^{R}{e^(-r*\lambda) dr}*\integral_{0}^{\pi}{sin\theta d\theta}*\integral_{0}^{2\pi}{ d\phi}
[/mm]
=0- [mm] (-1/\lambda*e^{-\lambda*r}*2*2\pi)
[/mm]
[mm] =4\pi/\lambda*e^{-\lambda*r}
[/mm]
Ist das so richtig, oder habe ich da Rechenfehler?
Und wie gehe ich bei der Ladung im gesamten Raum ran?
Gruß mathiko
PS: Wäre auch super, wenn mir jemand sagen könnte, wo ich noch ein paar Übungsaufgaben zu diesem Thema finden kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 So 11.04.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Das Volumenelement in Kugelkoordinaten ist:
[mm] r^2sin(\theta)drd\theta d\phi [/mm]
Und wieso sollte das erste Integral 0 werden?
Gruß,
Doing
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