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Ich wollte die Laplacetransformation von
[mm] e^{a*t}*sin(b*t) [/mm] für a und b aus den reellen zahlen, d.h. also
[mm] (L(e^{a*t}*sin(b*t))[/mm] [mm](s)[/mm] = [mm] \integral_{0}^{ \infty} [/mm] { [mm] e^{-s*t} e^{a*t} [/mm] }[mm]sin(b*t)dt[/mm]
= [mm] \bruch{-b * cos (bt) * e^{t(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{(s-a) * sin (bt) * e^{t(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
[/mm]
aber eigentlich muss (wegen diversen nachschlagwerken)
[mm] \bruch{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}
[/mm]
rauskommen
auch nach mehrmaligen durchrechnen bekomm ich einfach nicht dieses minus im zähler vor dem b raus,
was mach ich bloß falsch?
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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Hallo!
Der Fehler liegt in diesem Schritt:
> [mm]\bruch{-b * cos (bt) * e^{t(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^{2}}- \bruch{(s-a) * sin (bt) * e^{t(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^{2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-b}{(s-a)^{2}+b^{2}}[/mm]
Eigentlich meinst du damit ja
[mm] $\left[\bruch{-b * cos (bt) * e^{t(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^{2}}- \bruch{(s-a) * sin (bt) * e^{t(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right]_0^\infty$.
[/mm]
Beim Einsetzen fällt der zweite Term weg (weil man für die Integrierbarkeit $a < s$ voraussetzen muss), für den ersten Term gilt
[mm] $\left[\bruch{-b * cos (bt) * e^{t(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^2}\right]_0^\infty=\lim\limits_{t\to\infty}\bruch{-b * cos (bt) * e^{t(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^2}-\bruch{-b * cos (b*0) * e^{0*(a-s)}}{(s-a)^{2}+b^2}$.
[/mm]
Und dann kommt auch tatsächlich [mm]\bruch{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}[/mm] raus...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 So 22.05.2005 | | Autor: | QCO |
Ich bearbeite zur Zeit die gleiche Aufgabe und hätte da jetzt noch eine Frage:
An welcher Stelle muss ich hier für die Integrierbarkeit $a < s$ vorraussetzen? Das das Ergebnis nur für diesen Fall gilt, sehe ich ja, weil ich sonst mit dem Grenzwert [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] Probleme bekomme. Aber beim Integrieren selbst finde ich keine Einschränkungen.
Kannst du das bitte noch mal erläutern?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo!
Tatsächlich gibt es kein Problem beim Bestimmen der Stammfunktion, die ist in jedem Fall richtig. Aber: Die Funktion [mm] $e^{t(a-s)}$ [/mm] ist im Fall [mm] $s\le [/mm] a$ nicht mehr über [mm] $\IR^+$ [/mm] integrierbar, weil das Integral in diesem Fall gegen [mm] $\infty$ [/mm] konvergiert. Das merkst du dann tatsächlich an dem Punkt, wo du [mm] $\lim\limits_{t\to\infty}$ [/mm] bildest. Dann konvergiert der Bruch nämlich gegen [mm] $-\infty$...
[/mm]
Tatsächlich kriegst du die Voraussetzung $a< s$ also an dieser Stelle: Um die Laplacetransformierte einer Funktion $f$ an der Stelle $s$ bilden zu können, muss [mm] $e^{-st}f(t)$ [/mm] über [mm] $\IR^+$ [/mm] integrierbar sein. Das ist hier aber nur der Fall, wenn $s>a$ (oder, genauer: wenn [mm] $\mathrm{Re}(s)>a$)...
[/mm]
Gruß, banachella
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