L unendlich < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mo 29.08.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Ist eine Funktion beschränkt, falls gilt u [mm] \in L^\infty(\mathbb{R})? [/mm] |
Hallo,
also ich kenne micht mit diesen L-Räumen noch nicht wirklich aus. Verstehe ich das denn also richtig, dass u im klassischen Sinne beschränkt ist, also es eine konstante C gibt mit [mm] |u|\leq [/mm] C, falls u [mm] \in L^\infty(\mathbb{R})?
[/mm]
Konkret betrachte ich nämlich eigentlich die folgende Situation: Es sei f eine stetig diffbare Funktion und u wie oben. Dann soll f(u(x))Lipschitz stetig sein. (f und u seien so, dass die Verknüpfung f(u(x)) sinn macht).
Wäre nämlich u wirklich im klassichen Sinne beschränkt, so wäre das ja der Fall.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 29.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ist eine Funktion beschränkt, falls gilt u [mm]\in L^\infty(\mathbb{R})?[/mm]
Die Schreibweise ist gefaehrlich. Einmal ist mit $u$ eine Funktion bezeichnet, einmal eine Aequivalenzklasse.
Man sollte sowas schreiben wie "Ist eine Funktion beschränkt, falls gilt [mm][u]_\infty \in L^\infty(\mathbb{R})?[/mm]"
Wenn man jetzt bedenkt, dass man eine Funktion auf einer Nullmenge beliebig abaendern kann, dann sieht man, warum die Aussage nicht stimmt.
Du kannst zwar in jeder Aequvialenzklasse einen Repraesentanten finden, der beschraenkt ist, aber auch immer einen, der es nicht ist.
(Falls $u$ jedoch stetig ist, dann ist es automatisch beschraenkt.)
> Konkret betrachte ich nämlich eigentlich die folgende
> Situation: Es sei f eine stetig diffbare Funktion und u wie
> oben. Dann soll f(u(x))Lipschitz stetig sein. (f und u
> seien so, dass die Verknüpfung f(u(x)) sinn macht).
Ist etwa $f(x) = x$ und $u(x) = [mm] \begin{cases} 1 & \text{falls } u = 0, \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$, [/mm] so ist $u [mm] \in L^\infty(\IR)$, [/mm] jedoch ist $f(u(x)) = u(x)$ nicht stetig.
> Wäre nämlich u wirklich im klassichen Sinne beschränkt,
> so wäre das ja der Fall.
Nur, wenn es zusaetzlich stetig ist. Wenn $u$ nicht stetig ist, ist $f [mm] \circ [/mm] u$ oft auch nicht stetig und somit insbesondere nicht L-stetig.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 29.08.2011 | | Autor: | Unk |
> Moin!
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> > Ist eine Funktion beschränkt, falls gilt u [mm]\in L^\infty(\mathbb{R})?[/mm]
>
> Die Schreibweise ist gefaehrlich. Einmal ist mit [mm]u[/mm] eine
> Funktion bezeichnet, einmal eine Aequivalenzklasse.
>
> Man sollte sowas schreiben wie "Ist eine Funktion
> beschränkt, falls gilt [mm][u]_\infty \in L^\infty(\mathbb{R})?[/mm]"[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]Wenn man jetzt bedenkt, dass man eine Funktion auf einer [/u][/mm]
> [mm][u]Nullmenge beliebig abaendern kann, dann sieht man, warum [/u][/mm]
> [mm][u]die Aussage nicht stimmt.[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]Du kannst zwar in jeder Aequvialenzklasse einen [/u][/mm]
> [mm][u]Repraesentanten finden, der beschraenkt ist, aber auch [/u][/mm]
> [mm][u]immer einen, der es nicht ist.[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u](Falls [mm]u[/mm] jedoch stetig ist, dann ist es automatisch [/u][/mm]
> [mm][u]beschraenkt.)[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]> Konkret betrachte ich nämlich eigentlich die folgende [/u][/mm]
> [mm][u]> Situation: Es sei f eine stetig diffbare Funktion und u wie [/u][/mm]
> [mm][u]> oben. Dann soll f(u(x))Lipschitz stetig sein. (f und u [/u][/mm]
> [mm][u]> seien so, dass die Verknüpfung f(u(x)) sinn macht).[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]Ist etwa [mm]f(x) = x[/mm] und [mm]u(x) = \begin{cases} 1 & \text{falls } u = 0, \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/mm], [/u][/mm]
> [mm][u]so ist [mm]u \in L^\infty(\IR)[/mm], jedoch ist [mm]f(u(x)) = u(x)[/mm] nicht [/u][/mm]
> [mm][u]stetig.[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]> Wäre nämlich u wirklich im klassichen Sinne beschränkt, [/u][/mm]
> [mm][u]> so wäre das ja der Fall.[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]Nur, wenn es zusaetzlich stetig ist. Wenn [mm]u[/mm] nicht stetig [/u][/mm]
> [mm][u]ist, ist [mm]f \circ u[/mm] oft auch nicht stetig und somit [/u][/mm]
> [mm][u]insbesondere nicht L-stetig.[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]LG Felix[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
Ok schonmal danke. Tatsächlich gilt bei mir für [mm] u(x,t):\mathbb{R} \times [0,\infty) \to \mathbb{R} [/mm] und es soll u [mm] \in C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})\cap L^\infty(\mathbb{R} \times (0,\infty)) [/mm] sein. Dann ist u doch beschränkt oder?
Mir ist das mit den L Räumen noch nicht so vertraut. [mm] C([0,\infty),L^1(\mathbb{R}) [/mm] heißt ja auch [mm] L^1 [/mm] Stetigkeit, also [mm] ||u(\cdot,t+\delta)-u(\cdot,t)||_{L^1}<\varepsilon [/mm] falls [mm] \delta>0 [/mm] hinreichend klein oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mo 29.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mir ist das mit den L Räumen noch nicht so vertraut.
> [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})[/mm] heißt ja auch [mm]L^1[/mm] Stetigkeit,
Diese Schreibweise habe ich noch nie gesehen. Steht das wirklich genau so da?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mo 29.08.2011 | | Autor: | Unk |
> Moin!
>
> > Mir ist das mit den L Räumen noch nicht so vertraut.
> > [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})[/mm] heißt ja auch [mm]L^1[/mm] Stetigkeit,
>
> Diese Schreibweise habe ich noch nie gesehen. Steht das
> wirklich genau so da?
>
> LG Felix
>
Ja, bis auf dass ich eine Klammer am Ende vergessen hatte, also
[mm] C([0,\infty),L^1(\mathbb{R}))
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mo 29.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Moin!
> >
> > > Mir ist das mit den L Räumen noch nicht so vertraut.
> > > [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})[/mm] heißt ja auch [mm]L^1[/mm] Stetigkeit,
> >
> > Diese Schreibweise habe ich noch nie gesehen. Steht das
> > wirklich genau so da?
> >
> > LG Felix
> >
> Ja, bis auf dass ich eine Klammer am Ende vergessen hatte,
> also
> [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R}))[/mm]
Ah, das macht mehr Sinn. Das ist die Menge der stetigen Funktionen von $[0, [mm] \infty)$ [/mm] nach [mm] $L^1(\IR)$.
[/mm]
Jetzt hat man aber wieder das Problem, dass die Funktion Restklassen beinhaltet, es also auch nicht beschraenkte Repraesentanten gibt die das ganze wieder kaputtmachen.
Und noch ganz allgemein zum urspruenglichen Problem: nur weil $u$ messbar und beschraenkt ist, muss $f [mm] \circ [/mm] u$ noch lange nicht Liptschitz sein.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Di 30.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Moin!
> >
> > > Ist eine Funktion beschränkt, falls gilt u [mm]\in L^\infty(\mathbb{R})?[/mm]
>
> >
> > Die Schreibweise ist gefaehrlich. Einmal ist mit [mm]u[/mm] eine
> > Funktion bezeichnet, einmal eine Aequivalenzklasse.
> >
> > Man sollte sowas schreiben wie "Ist eine Funktion
> > beschränkt, falls gilt [mm][u]_\infty \in L^\infty(\mathbb{R})?[/mm]"[/u][/mm]
>
> >[mm][u][/u][/mm]
> > [mm][u]Wenn man jetzt bedenkt, dass man eine Funktion auf einer[/u][/mm]
>
> > [mm][u]Nullmenge beliebig abaendern kann, dann sieht man, warum[/u][/mm]
>
> > [mm][u]die Aussage nicht stimmt.[/u][/mm]
> >[mm][u][/u][/mm]
> > [mm][u]Du kannst zwar in jeder Aequvialenzklasse einen[/u][/mm]
> >
> [mm][u]Repraesentanten finden, der beschraenkt ist, aber auch[/u][/mm]
> >
> [mm][u]immer einen, der es nicht ist.[/u][/mm]
> >[mm][u][/u][/mm]
> > [mm][u](Falls [mm]u[/mm] jedoch stetig ist, dann ist es automatisch[/u][/mm]
> >
> [mm][u]beschraenkt.)[/u][/mm]
> >[mm][u][/u][/mm]
> > [mm][u]> Konkret betrachte ich nämlich eigentlich die folgende[/u][/mm]
>
> > [mm][u]> Situation: Es sei f eine stetig diffbare Funktion und u wie[/u][/mm]
>
> > [mm][u]> oben. Dann soll f(u(x))Lipschitz stetig sein. (f und u[/u][/mm]
>
> > [mm][u]> seien so, dass die Verknüpfung f(u(x)) sinn macht).[/u][/mm]
>
> >[mm][u][/u][/mm]
> > [mm][u]Ist etwa [mm]f(x) = x[/mm] und [mm]u(x) = \begin{cases} 1 & \text{falls } u = 0, \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/mm],[/u][/mm]
>
> > [mm][u]so ist [mm]u \in L^\infty(\IR)[/mm], jedoch ist [mm]f(u(x)) = u(x)[/mm] nicht[/u][/mm]
>
> > [mm][u]stetig.[/u][/mm]
> >[mm][u][/u][/mm]
> > [mm][u]> Wäre nämlich u wirklich im klassichen Sinne beschränkt,[/u][/mm]
>
> > [mm][u]> so wäre das ja der Fall.[/u][/mm]
> >[mm][u][/u][/mm]
> > [mm][u]Nur, wenn es zusaetzlich stetig ist. Wenn [mm]u[/mm] nicht stetig[/u][/mm]
>
> > [mm][u]ist, ist [mm]f \circ u[/mm] oft auch nicht stetig und somit[/u][/mm]
> >
> [mm][u]insbesondere nicht L-stetig.[/u][/mm]
> >[mm][u][/u][/mm]
> > [mm][u]LG Felix[/u][/mm]
> >[mm][u][/u][/mm]
>
> Ok schonmal danke. Tatsächlich gilt bei mir für
> [mm]u(x,t):\mathbb{R} \times [0,\infty) \to \mathbb{R}[/mm]
Aha, also ist u eine reellwertige Funktion von 2 reellen Variablen.
> und es
> soll u [mm]\in C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})\cap L^\infty(\mathbb{R} \times (0,\infty))[/mm]
> sein.
Jetzt wirds völlig wirr !
Jetzt ist u plötzlich eine Funktion von einer reellen Var. , die Werte in
[mm] L^1(\mathbb{R})\cap L^\infty(\mathbb{R} \times (0,\infty))
[/mm]
annimmt ! Was soll den dieser Durchschnitt sein ? In [mm] L^1(\mathbb{R}) [/mm] liegen Funktionen (oder Restklassen von Funktionen) von einer Variablen, in [mm] L^\infty(\mathbb{R} \times (0,\infty)) [/mm] haben die Kandidaten 2 Variablen ! ???
Weiter unten ist dann u [mm] \in C([0,\infty),L^1(\mathbb{R}))
[/mm]
So geht das nicht !
FRED
> Dann ist u doch beschränkt oder?
> Mir ist das mit den L Räumen noch nicht so vertraut.
> [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})[/mm] heißt ja auch [mm]L^1[/mm] Stetigkeit,
> also [mm]||u(\cdot,t+\delta)-u(\cdot,t)||_{L^1}<\varepsilon[/mm]
> falls [mm]\delta>0[/mm] hinreichend klein oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Di 30.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred!
> > Ok schonmal danke. Tatsächlich gilt bei mir für
> > [mm]u(x,t):\mathbb{R} \times [0,\infty) \to \mathbb{R}[/mm]
>
>
> Aha, also ist u eine reellwertige Funktion von 2 reellen
> Variablen.
>
>
> > und es
> > soll u [mm]\in C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})\cap L^\infty(\mathbb{R} \times (0,\infty))[/mm]
> > sein.
>
> Jetzt wirds völlig wirr !
>
> Jetzt ist u plötzlich eine Funktion von einer reellen Var.
> , die Werte in
>
> [mm]L^1(\mathbb{R})\cap L^\infty(\mathbb{R} \times (0,\infty))[/mm]
>
> annimmt ! Was soll den dieser Durchschnitt sein ? In
Die Klammer-zu sollte glaub ich nach dem [mm] $L^1(\IR)$ [/mm] stehen.
Es ist also vermutlich gemeint, dass $u : [0, [mm] \infty) \to L^1(\IR)$ [/mm] stetig ist und - aufgefasst als Funktion in zwei Variablen, also $u(x, t) = u(t)(x)$ - es ist gleichzeitig eni Element aus [mm] $L^\infty(\IR \times [/mm] (0, [mm] \infty))$.
[/mm]
Das ist allerdings schon recht wuest ausgedrueckt... Vor allem weil man sich fragt, wo jetzt ueberall Aequivalenzklassen auftauchen bzw. inwiefern man ueberhaupt beliebige Repraesentaten waehlen darf, also ob das ganze eigentlich wohldefiniert ist.
LG Felix
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