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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Di 25.01.2011 | | Autor: | Wolve |
| Aufgabe | Sei G ein Gebiet, seien f,g [mm] \in $\partial [/mm] (G)$ und f,g [mm] \not \equiv [/mm] 0. Sei a [mm] \in [/mm] G mit f(a) = g(a) = 0. Zeigen Sie
a) [mm] \limes_{z\rightarrow a} \bruch{f(z)}{g(z)} [/mm] existiert genau dann, wenn [mm] \limes_{z\rightarrow a} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] existiert.
(Hinweis: Fallunterscheidung nach der Ordnung der Nullstelle.)
b) Wenn die beiden äquivalenten Aussagen gelten, dann gilt:
[mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f(z)}{g(z)} [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow a} \bruch{f'(z)}{g'(z)}$.
[/mm]
[Dabei verwende ich [mm] $\partial [/mm] (G)$ als die Menge aller holomorpher Funktionen in G] |
Schönen guten Tag,
bei dieser Aufgabe habe ich Schwierigkeiten sicher einen Lösungsweg zu finden. Aber ich möchte es dennoch versuchen, soweit ich kann...
a)
Da f und g holomorph sind besitzen sie lokal um a eine Taylorentwicklung:
$f(z) = [mm] \summe_{\nu=0}^{\infty} \bruch{f^{(\nu )}(a)}{\nu !} (z-a)^{\nu}$
[/mm]
$g(z) = [mm] \summe_{\nu=0}^{\infty} \bruch{g^{(\nu )}(a)}{\nu !} (z-a)^{\nu}$
[/mm]
Sei a Nullstelle von f der Ordnung n und von g der Ordnung m:
$f(z) = [mm] \summe_{\nu=n}^{\infty} \bruch{f^{(\nu )}(a)}{\nu !} (z-a)^{\nu} [/mm] = [mm] (z-a)^n \summe_{\nu=n}^{\infty} \bruch{f^{(\nu )}(a)}{\nu !} (z-a)^{\nu -n}$
[/mm]
$g(z) = [mm] \summe_{\nu=m}^{\infty} \bruch{g^{(\nu )}(a)}{\nu !} (z-a)^{\nu} [/mm] = [mm] (z-a)^m \summe_{\nu=m}^{\infty} \bruch{g^{(\nu )}(a)}{\nu !} (z-a)^{\nu -m}$
[/mm]
Somit existieren holomorphe Funktionen [mm] f^{\sim} [/mm] und [mm] g^{\sim}, [/mm] dass [mm] $f^{\sim}(a) \not= [/mm] 0$ und [mm] $g^{\sim}(a) \not= [/mm] 0$, [mm] f^{\sim}, g^{\sim} [/mm] nullstellenfrei.
[mm] \Rightarrow [/mm] $f(z) = [mm] (z-a)^n f^{\sim}(z)$ [/mm] und $g(z) = [mm] (z-a)^m g^{\sim}(z)$
[/mm]
Es gilt: [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f(z)}{g(z}$ [/mm] = [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{(z-a)^n f^{\sim}(z)}{(z-a)^m g^{\sim}(z)}$ [/mm] = [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{1}{(z-a)^{m-n}} \bruch{f^{\sim}(z)}{g^{\sim}(z)}$
[/mm]
Fall 1: (m>n): [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f(z)}{g(z)}$ [/mm] = ... = [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{1}{(z-a)^{m-n}} \bruch{f^{\sim}(z)}{g^{\sim}(z)}$ \to \infty [/mm] mit (m-n)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Grenzwert ex. nicht
Fall 2: (m=n): [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f(z)}{g(z)}$ [/mm] = ... = [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f^{\sim}(z)}{g^{\sim}(z)}$ [/mm] = const. und somit existent, da [mm] f^{\sim}, g^{\sim} [/mm] nullstellenfrei und holomorph, also diff'bar.
Fall 3: (m<n): [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f(z)}{g(z)}$ [/mm] = ... = [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \underbrace{(z-a)^{n-m}}_{\to 0} \bruch{f^{\sim}(z)}{g^{\sim}(z)} \to [/mm] 0, also existent.
Ich bin mir hierbei nicht sicher, ob meine Fallanalyse soweit korrekt war und ob sie wirklich auch zeigt, dass wenn der eine Limes aus der Aufgabenstellung exisiert, dann auch der andere existiert. Habe ich etwas vergessen???
b)
Hier weiß ich auch nicht so recht wie ich das zeigen soll, glaube ich bin generell etwas durcheinander gekommen. Könnte mir jemand sagen, womit ich das hier zeigen soll?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß Hendrik
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Wolve |
Nachtrag:
Ich glaube die Idee zur Teilaufgabe (a) habe ich gefunden...
Da ich ja die Nullstellen der entsprechenden Ordnungen rausgebracht habe ist jeweils die nächste Ableitung von [mm] f^{\sim} [/mm] und [mm] g^{\sim} [/mm] ungleich 0, somit existieren die Grenzwerte, bei n>m bin ich mir nicht sicher, müsste dann aber wegen dem Rausgezogenen weiterhin gegen 0 gehen.
Bei Teilaufgabe (b) bin ich mir weiterhin unsicher, womit ich arbeiten soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich zeig Dir mal, wie es geht, wenn f und g in a jeweils eine einfache Nullstelle haben (den allgemeinen Fall darfst Du Dir selbst überlegen):
In diesem Fall gibt es [mm] f_1,g_1 [/mm] $ [mm] \in [/mm] $ $ [mm] \partial [/mm] (G) $ mit:
$f(z)= [mm] (z-a)f_1(z)$, [/mm] $g(z)= [mm] (z-a)g_1(z)$ [/mm] für $z [mm] \in [/mm] G$
und
[mm] $f'(a)=f_1(a) \ne [/mm] 0$, [mm] $g'(a)=g_1(a) \ne [/mm] 0$
Dann folgt:
[mm] \bruch{f(z)}{g(z)}= \bruch{f_1(z)}{g_1(z)}
[/mm]
also
[mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f(z)}{g(z)}= \limes_{z\rightarrow a}\bruch{f_1(z)}{g_1(z)}= \bruch{f'(a)}{g'(a)}= \limes_{z\rightarrow a} \bruch{f'(z)}{g'(z)}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Wolve |
Ah, mit dem Ansatz von $f(z) = f(a) + f'(z)(z-a)$ muss ich arbeiten.
Und aus der Angabe entnehme ich, dass $f(a) = g(a) = 0$.
Müsste dann aber nicht auch allgemein so sein, dass...
$f(z) = f(a) + f'(z)(z-a)$ und $g(z) = g(a) + g'(z)(z-a)$
Somit [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch [/mm] {f(z)}{g(z)}$ = [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f(a) + f'(z)(z-a)}{g(a) + g'(z)(z-a)}$ [/mm] = [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f'(z)(z-a)}{g'(z)(z-a)}$ [/mm] = [mm] $\limes_{z\rightarrow a} \bruch{f'(z)}{g'(z)}$ [/mm] mit $f(a) = g(a) = 0$.
Muss ich hier auch nach Fällen unterscheiden oder kann ich das so verallgemeinernd ausdrücken??
Glaube aber so wäre es zu leicht, wenn ich aus dem konkreten Beispiel der einfachen Nullstelle auf die allgemein Version schließen könnte...
Gruß Hendrik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Do 27.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Hendrik!
> Ah, mit dem Ansatz von [mm]f(z) = f(a) + f'(z)(z-a)[/mm] muss ich
> arbeiten.
Der Ansatz ist im Allgemeinen falsch. (Er impliziert, dass f ein komplexer Logarithmus ist.)
Das hat Fred auch nicht geschrieben. Wenn f eine Nullstelle 1. Ordnung in a hat, dann existiert eine holomorphe Funktion [mm] $f_1$, [/mm] sodass $f(z) = [mm] f_1(z)(z-a)$ [/mm] und im Punkt a gilt: $f'(a) = [mm] f_1(a)\not=0$. [/mm] Über andere Punkte ist nichts ausgesagt!
Nun verallgemeinere diese Aussage auf Nullstellen höherer Ordung!
Viele Grüße
Rainer
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