L´Hospital < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mi 13.07.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} x^x [/mm] |
Schönen guten Abend liebe Mathefans,
also diese Aufgabe steht unter dem Bereich L´Hobital aufgaben, hat aber nen Trick dabei. Und zwar wird folgender Schritt angewand: [mm] exp(\limes_{n\rightarrow\ 0} [/mm] x ln(x)) Soo und jetzt weiß ich nicht, in welcher Grundform dieser Trick ist, da es ja [mm] x^x [/mm] ist. Wo steht denn der Expoent vom X, wo steht das x selber und was sind vergleichbare Aufgaben? Und wieso mach ich das überhaupt, ich darfs ja nur machen, wenn die Funktion stetig ist nicht?
Ok vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 13.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] $x^x= e^{x*ln(x)}$
[/mm]
Da die e-Funktion stetig ist, hat man:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x^x= e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)}$
[/mm]
Weiter ist
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(x)}{1/x}$
[/mm]
Jetzt L'Hospital.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 13.07.2011 | | Autor: | durden88 |
> Es ist [mm]x^x= e^{x*ln(x)}[/mm]
>
Der Faktor vor dem ln, ist das der Exponent oder die Basis von [mm] x^x?
[/mm]
> Da die e-Funktion stetig ist, hat man:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x^x= e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)}[/mm]
>
> Weiter ist
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(x)}{1/x}[/mm]
>
Danke das hab ich kappiert.
> Jetzt L'Hospital.
>
> FRED
>
Was sind denn vergleichbare Aufgaben, wo es nen bischen deutlicher wird? Und wieso mach ich das? [mm] x^x [/mm] gegen 0 macht ja der Taschenrechner ERROR, so und wenn ich Ableite kommt ja immer wieder [mm] 1*x^x [/mm] deswegen dieser Trick
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Hallo durden88,
> > Es ist [mm]x^x= e^{x*ln(x)}[/mm]
> >
> Der Faktor vor dem ln, ist das der Exponent oder die Basis
> von [mm]x^x?[/mm]
Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm]
Also ist der Faktor vor dem [mm]\ln(x)[/mm] was?
> > Da die e-Funktion stetig ist, hat man:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x^x= e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)}[/mm]
>
> >
> > Weiter ist
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*ln(x)= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(x)}{1/x}[/mm]
>
> >
> Danke das hab ich kappiert.
Besser, du hättest es kapiert.
> > Jetzt L'Hospital.
> >
> > FRED
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>
> Was sind denn vergleichbare Aufgaben, wo es nen bischen
Was bedeutet dieses Wort, wenn es denn eines ist? Ich kenne es nicht ...
> deutlicher wird? Und wieso mach ich das? [mm]x^x[/mm] gegen 0 macht
> ja der Taschenrechner ERROR,
Vermutlich, weil für [mm]x^x[/mm] lediglich der rechtsseitige Limes für [mm]x\downarrow 0[/mm] definiert ist, also [mm]\lim\limits_{x\downarrow 0}x^x=..[/mm]
> so und wenn ich Ableite kommt
> ja immer wieder [mm]1*x^x[/mm] deswegen dieser Trick
Wenn du was ableitest? [mm]x^x[/mm]?
Nein, da kommt doch [mm]\left[x^x\right]'=(1+\ln(x))\cdot{}x^x[/mm] heraus ... (Kettenregel)
Gruß
schachuzipus
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