L'Hospital < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Fr 05.11.2004 | | Autor: | phate |
Hi
es geht um die Grenzwertbestimmung eines unbestimmten Ausdrucks der Form:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] - [mm] cot^{2}x)
[/mm]
Mein Übungsleiter meinte, dass man den Ausdruck nur lösen könnte, wenn man die Brüche (cot = cos / sin) gleichnamig macht und dann ableitet.
Dies wird in anbetracht des cot doch sehr aufwendig und laut seiner Rechnung erst nach der 4.ten Ableitung zum Ergebnis [mm] \bruch{2}{3} [/mm] führen.
Ich für meinen Teil hatte gedacht, wenn ich für beide Ausdrücke [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] und den [mm] cot^{2}x [/mm] jeweils einen Grenzwert finde, dann kann ich den Ausdruck auch auseinanderpflücken, getrennt die Grenzwerte bestimmen und dann die Teilergebnisse wieder zusammen fassen.
wer hat recht oder gibts noch nen anderen Weg??
vielen Dank schonmal
phate
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hi
>
> es geht um die Grenzwertbestimmung eines unbestimmten
> Ausdrucks der Form:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] - [mm]cot^{2}x)
[/mm]
>
> Mein Übungsleiter meinte, dass man den Ausdruck nur lösen
> könnte, wenn man die Brüche (cot = cos / sin) gleichnamig
> macht und dann ableitet.
Ob es nur so geht, weiß ich nicht. Vielleicht gibt es auch noch andere Wege. Jedenfalls:
Da du als Überschrift L'Hospital stehen hast, antworte ich dir auch diesbezüglich:
Um de L'Hôpital anwenden zu können, müssen ja entweder
Der Zähler und der Nenner jeweils (betragsmäßig) gegen $0$ gehen bei der Grenzwertbildung
oder
Der Zähler und der Nenner jeweils (betragsmäßig) gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen bei der Grenzwertbildung.
Nur für solche Fälle (also unter diesen Voraussetzungen) ist der Satz formuliert (siehe etwa: ![[]](/images/popup.gif) hier oder:
Skript,
S. 126 (skriptinterne Zählung oben rechts), Satz 13.22).
Außerdem brauchst du noch weitere Voraussetzungen der Diff'barkeit etc., das kannst du ja z.B. im Skript nachlesen.
> Dies wird in anbetracht des cot doch sehr aufwendig und
> laut seiner Rechnung erst nach der 4.ten Ableitung zum
> Ergebnis [mm]\bruch{2}{3}[/mm] führen.
> Ich für meinen Teil hatte gedacht, wenn ich für beide
> Ausdrücke [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] und den [mm]cot^{2}x[/mm] jeweils einen
> Grenzwert finde, dann kann ich den Ausdruck auch
> auseinanderpflücken, getrennt die Grenzwerte bestimmen und
> dann die Teilergebnisse wieder zusammen fassen.
Das könntest du, wenn die Grenzwerte in vernünftiger Weise existieren würden. Es gilt aber:
[mm]\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty[/mm] und
[mm]\lim_{x \to 0}{cot^2(x)}=\lim_{x \to 0}{\left(\frac{cos(x)}{sin(x)}\right)^2}=\frac{1}{\limes_{x \to 0}sin^2(x)}=\infty[/mm]
(Das ist jetzt formal nicht ganz korrekt, aber ich denke du weißt, wie das zu lesen ist!)
Dann müsstest du [mm] $\infty-\infty$ [/mm] rechnen. Da ist das Problem.
> wer hat recht oder gibts noch nen anderen Weg??
Also: So wie du es vorgeschlagen hast, geht es nicht. Mit dem Weg deines Übungsleiters klappt es (hoffentlich, denn ich habe es nicht nachgerechnet  ).
Also: Da hat wohl der Übungsleiter recht.
> vielen Dank schonmal
> phate
Gern geschehen.
Viele Grüße,
Marcel
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