LU-Zerlegung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 17.03.2013 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Lösen Sie mit dem Gaussschen Algorithmus mit Spaltenpivotisierung das Gleichungssystem:
[mm] \pmat{0&-4&0&3\\6&-2&3&4\\-6&6&-3&-6\\12&4&-2&8}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=\vektor{2\\-7\\3\\-6}. [/mm] Geben Sie L,U und die ggf. benötigte Permutationsmatrix P an. |
Nun ich verstehe alles. Aber ich habe mich irgendwo verrechnet und komme nicht darauf wo. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand mitteilen könnte, wo der Fehler liegt. Danke vielmals!
[mm] A=\pmat{0&-4&0&3\\6&-2&3&4\\-6&6&-3&-6\\12&4&-2&8} \to \pmat{12&4&-2&8\\6&-2&3&4\\-6&6&-3&-6\\0&-4&0&3} \to \pmat{12&4&-2&8\\0&4&-4&0\\0&8&-4&-2\\0&-4&0&3} \to
[/mm]
[mm] \pmat{12&4&-2&8\\0&8&-4&-2\\0&4&-4&0\\0&-4&0&3} \to
[/mm]
[mm] \pmat{12&4&-2&8\\0&8&-4&-2\\0&0&2&-1\\0&0&0&2}
[/mm]
1. [mm] \to [/mm] : [mm] T_{1}=\pmat{0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0}
[/mm]
2. [mm] \to [/mm] : [mm] L_{1}=\pmat{1&0&0&0\\\bruch{1}{2}&1&0&0\\-\bruch{1}{2}&0&1&0\\0&0&0&1}
[/mm]
3. [mm] \to [/mm] : [mm] T_{2}=\pmat{1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1}
[/mm]
4. [mm] \to [/mm] : [mm] L_{2}=\pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\bruch{1}{2}&1&0\\0&-\bruch{1}{2}&0&1}
[/mm]
Es muss ja [mm] L_{2}*T_{2}*L_{1}*T_{1}*A=U [/mm] gelten, nicht wahr?
Aber das ist bei mir nicht der Fall, genauso wie [mm] P*A\not=L*U.
[/mm]
[mm] P=T_{2}*T_{1} [/mm] ist korrekt.
[mm] L=L_{1}*L_{2} [/mm] ist auch korrekt.
Wo liegt der Fehler? Ich habe mit Matlab dies berechnet und stosse darauf, dass bei U die letzte Zeile so aussehen sollte: (0 0 0 1). Kann ich also einfach durch 2 teilen?
Danke schon im Voruas. mfg :)
P.S: Wie man dann das Gleichungssystem löst, ist mir klar :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 So 17.03.2013 | | Autor: | unibasel |
Nachtrag: [mm] L=L_{1}^{-1}*L_{2}^{-1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo unibasel,
> Lösen Sie mit dem Gaussschen Algorithmus mit
> Spaltenpivotisierung das Gleichungssystem:
>
> [mm]\pmat{0&-4&0&3\\6&-2&3&4\\-6&6&-3&-6\\12&4&-2&8}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=\vektor{2\\-7\\3\\-6}.[/mm]
> Geben Sie L,U und die ggf. benötigte Permutationsmatrix P
> an.
> Nun ich verstehe alles. Aber ich habe mich irgendwo
> verrechnet und komme nicht darauf wo. Ich wäre sehr
> dankbar, wenn mir jemand mitteilen könnte, wo der Fehler
> liegt. Danke vielmals!
>
> [mm]A=\pmat{0&-4&0&3\\6&-2&3&4\\-6&6&-3&-6\\12&4&-2&8} \to \pmat{12&4&-2&8\\6&-2&3&4\\-6&6&-3&-6\\0&-4&0&3} \to \pmat{12&4&-2&8\\0&4&-4&0\\0&8&-4&-2\\0&-4&0&3} \to[/mm]
>
Wenn Du nach der Zeilenvertauschung Zeile 2 -1/2*Zeile gerechnet hast,
dann muss doch da stehen:
[mm]A=\pmat{0&-4&0&3\\6&-2&3&4\\-6&6&-3&-6\\12&4&-2&8} \to \pmat{12&4&-2&8\\6&-2&3&4\\-6&6&-3&-6\\0&-4&0&3} \to \pmat{12&4&-2&8\\0&\blue{-}4& \blue{+}4&0\\0&8&-4&-2\\0&-4&0&3} \to[/mm]
Zeile 3 und 4 stimmen nach der Elimination.
> [mm]\pmat{12&4&-2&8\\0&8&-4&-2\\0&4&-4&0\\0&-4&0&3} \to[/mm]
>
> [mm]\pmat{12&4&-2&8\\0&8&-4&-2\\0&0&2&-1\\0&0&0&2}[/mm]
>
> 1. [mm]\to[/mm] : [mm]T_{1}=\pmat{0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0}[/mm]
> 2. [mm]\to[/mm] :
> [mm]L_{1}=\pmat{1&0&0&0\\\bruch{1}{2}&1&0&0\\-\bruch{1}{2}&0&1&0\\0&0&0&1}[/mm]
> 3. [mm]\to[/mm] : [mm]T_{2}=\pmat{1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1}[/mm]
> 4. [mm]\to[/mm] :
> [mm]L_{2}=\pmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\bruch{1}{2}&1&0\\0&-\bruch{1}{2}&0&1}[/mm]
>
> Es muss ja [mm]L_{2}*T_{2}*L_{1}*T_{1}*A=U[/mm] gelten, nicht wahr?
> Aber das ist bei mir nicht der Fall, genauso wie
> [mm]P*A\not=L*U.[/mm]
>
> [mm]P=T_{2}*T_{1}[/mm] ist korrekt.
> [mm]L=L_{1}*L_{2}[/mm] ist auch korrekt.
>
> Wo liegt der Fehler? Ich habe mit Matlab dies berechnet und
> stosse darauf, dass bei U die letzte Zeile so aussehen
> sollte: (0 0 0 1). Kann ich also einfach durch 2 teilen?
>
> Danke schon im Voruas. mfg :)
>
> P.S: Wie man dann das Gleichungssystem löst, ist mir klar
> :)
Gruss
MathePower
|
|
|
|
