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| Aufgabe | Beweisen Sie: Besitzt die symmetrische Matrix A [mm] \in [/mm] GLn(R) eine LR Zerlegung A=LR , so gibt es eine Diagonalmatrix D mit R = [mm] DL^T [/mm] , d.h. es gilt
[mm] A=LDL^T [/mm] |
so was ich bis jetzt herausgefunden hab is , das man das Cholesky-Zerlegung nennt , aber da steht immer was von wegen positiv definiert und so und was von diagonal matrizen und so.
Und ich verstehe das alles nicht kann mir wer denn beweis ausführlich erklären weil ich bald ne klausur schreib und ich noch nie was davon gehört hab ausser von der LR zerlegung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 So 03.02.2008 | | Autor: | Blech |
> Beweisen Sie: Besitzt die symmetrische Matrix A [mm]\in[/mm] GLn(R)
> eine LR Zerlegung A=LR , so gibt es eine Diagonalmatrix D
> mit R = [mm]DL^T[/mm] , d.h. es gilt
> [mm]A=LDL^T[/mm]
Grob (es ist spät) würd ich das so machen:
[mm] $A=LR=R^tL^t=A^t$ [/mm] (Symmetrie)
A ist regulär (da die LR-Zerlegung existiert), also auch L, damit folgt:
[mm] $R=L^{-1}R^tL^t$
[/mm]
Nun ist [mm] $L^{-1}$ [/mm] eine linke untere Dreiecksmatrix (LUD), weil L eine LUD ist (der Beweis ist nicht schwer) und [mm] $R^t$ [/mm] ist auch LUD, damit ist auch [mm] $D:=L^{-1}R^t$ [/mm] eine LUD. [mm] L^t [/mm] ist eine ROD, [mm] $D*L^t$ [/mm] soll auch eine ROD sein, weil R eine ist, damit muß D eine Diagonalmatrix sein (Beweis mit Aufteilung in 4 Teilmatrizen und Induktion).
Also gilt [mm] $R=D*L^t$ [/mm] und [mm] $A=L*D*L^t$. [/mm]
Jetzt zum Teil, wo ich mir nicht sicher bin:
Wenn A eine Cholesky-Zerlegung hat, so ist die iirc eindeutig, also wären die beiden Zerlegungen identisch. Aber mir ist nicht ganz klar, wo es für obiges notwendig sein sollte, daß A positiv definit ist, und ob es nicht auch für nicht positiv definite Matrizen funktioniert.
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| Aufgabe | | , $ [mm] D\cdot{}L^t [/mm] $ soll auch eine ROD sein, weil R eine ist, damit muß D eine Diagonalmatrix sein (Beweis mit Aufteilung in 4 Teilmatrizen und Induktion). |
versteh nicht ganz wie ich das zeigen soll, könnte mir da wer helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 03.02.2008 | | Autor: | Blech |
Die Anleitung war so gedacht:
[mm] $D*L^t=\pmat{ D_{n-1} & 0_{n-1} \\ v^t & d_{i,i} }*\pmat{ L^t_{n-1} & w \\ 0^t_{n-1} & l_{i,i} }=\pmat{ D_{n-1}L^t_{n-1} & D_{n-1}w \\ v^tL^t_{n-1} & v^tw+d_{i,i}r_{i,i} }=R$
[/mm]
Dabei ist [mm] $D_{n-1}$ [/mm] die Teilmatrix ohne letzte Zeile und Spalte, [mm] $0_{n-1}$ [/mm] ein n-1-dim Nullvektor, v und w die letzte Zeile bzw. Spalte der jeweiligen Matrix bis auf das i,i-te Element.
R ist ROD, also ist [mm] $v^tL^t_{n-1}=0_{n-1}$, [/mm] da L vollen Rang hat, ist also v=0. Jetzt Induktion auf [mm] $D_{n-1}$
[/mm]
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