LR vs Gauß < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 17.06.2014 | | Autor: | Laura87 |
Hallo Zusammen,
ich habe keine Aufgabe, sondern eine Verständnisfrage. Ich beschäftige mich zur Zeit mit den beiden Verfahren und das rechnen an sich ist kein Problem. Jedoch möchte der Prof. auch wissen, worin die Vorteile der LR Zerlegung liegen. Ich habe jetzt laut Google gelesen:
,,Der Vorteil der LR-Zerlegung ist: Wenn du in einem Gleichungssystem Ax=b unterschiedliche Ergebnisvektoren b hast, musst du die LR-Zerlegung von A nur einmal ausrechnen und kannst die Lösungen jedesmal sofort ablesen."
Das verstehe ich schon nicht. Was heißt sofort ablesen? ich muss doch (auch wenn es recht einfach ist)jedes mal erst [mm] Ly_1=b_1 [/mm] und [mm] Rx_1=y_1 [/mm] berechnen.
Und das ist beim Gauß doch auch nicht anders.
Desweiteren würde es mich interessieren, welche Vorteile es noch gibt, da unser Prof. von einigen sprach.
Vielen dank im Voraus.
LG Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Mir würde noch einfallen, dass wenn du die LR Zerlegung hast, sich die Inverse Matrix sehr einfach berechnen lässt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mi 18.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Laura,
> ,,Der Vorteil der LR-Zerlegung ist: Wenn du in einem
> Gleichungssystem Ax=b unterschiedliche Ergebnisvektoren b
> hast, musst du die LR-Zerlegung von A nur einmal ausrechnen
> und kannst die Lösungen jedesmal sofort ablesen."
>
> Das verstehe ich schon nicht. Was heißt sofort ablesen?
> ich muss doch (auch wenn es recht einfach ist)jedes mal
> erst [mm]Ly_1=b_1[/mm] und [mm]Rx_1=y_1[/mm] berechnen.
>
> Und das ist beim Gauß doch auch nicht anders.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Sei [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] wir nehmen an, dass die LR-Zerlegung
existiert und [mm] $A\$ [/mm] regulär ist, dann sind [mm] $L\$ [/mm] und [mm] $R\$
[/mm]
eindeutig bestimmt, wobei [mm] $L\$ [/mm] eine untere unipo-
tente Dreiecksmatrix ist und [mm] $R\$ [/mm] eine obere Drei-
ecksmatrix. Wenn wir nun ein lineares Gleichungs-
system lösen wollen erhalten wir:
[mm] $Ax=b\Longleftrightarrow [/mm] LRx=b$ mit [mm] b\in\IR^n
[/mm]
und es folgt mit der Vor- und Rückwärtseinsetzung
[mm] $Ly=b\$
[/mm]
[mm] $Rx=y\$
[/mm]
die Lösung der Gleichung. Mit anderen Worten:
Wir müssen die LR-Zerlegung bei der Veränderung
vom Vektor [mm] $b\$ [/mm] nicht erneut durchführen, sondern
nur die Vor- und Rückwärtseinsetzung und wegen
der Eigenschaften von [mm] $L\$ [/mm] und [mm] $R\$ [/mm] kann man das
in der Regel direkt ablesen. Als Speicherplatz
benötigen wir demnach auch nur noch die zwei Ma-
trizen.
> Desweiteren würde es mich interessieren, welche Vorteile
> es noch gibt, da unser Prof. von einigen sprach.
[mm] \bullet [/mm] Invertierieren: [mm] A^{-1}=(LR)^{-1}=R^{-1}*L^{-1}, [/mm] wobei [mm] R^{-1}
[/mm]
und vor Allem [mm] L^{-1} [/mm] sofort ablesbar sind.
[mm] \bullet [/mm] Determinante: [mm] \det(A)=\det(L*R)=\det(L)*\det(R)=1*\produkt_{i=1}^{n}r_{i,i}=r_{1,1}*\ldots*r_{n,n}.
[/mm]
Rechenaufwand etc. kannst du dir selbst überlegen.
Gruß
DieAcht
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