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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:10 So 22.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich lerne gerade für eine Klausur und habe zu den ersten Themen mal ein paar zusammenfassende Fragen:
Zur LR-Zerlegung:
- Es existiert nicht für jede Matrix eine LR-Zerlegung.
- Wenn die LR-Zerlegung existiert, dann ist sie eindeutig.
- Wenn die LR-Zerlegung existiert, dann ist die Matrix invertierbar.
So, bei diesen Eigenschaften bin ich mir noch ziemlich sicher. Nun habe ich mich aber gefragt, ob man einer Matrix direkt ansehen kann, ob eine LR-Zerlegung existiert. Es gilt offenbar:
- Die Matrix ist invertierbar [mm] \not\Rightarrow [/mm] die LR-Zerlegung existiert.
Nun habe ich noch folgendes gefunden:
- Für jede symmetrisch positiv Matrix existiert eine LR-Zerlegung.
Ist das richtig? Wenn ja, warum? Ach ja, es geht übrigens nur um LR-Zerlegung ohne Pivotsuche.  Kann man sonst noch irgendetwas prüfen, um herauszufinden, ob eine LR-Zerlegung existiert?
Gibt es sonst noch irgendwelche wichtigen Eigenschaften, die ich wissen sollte?
Ach, und noch etwas: ein Standardbeispiel für eine [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix, für die keine LR-Zerlegung existiert, ist ja [mm] \pmat{0&1\\1&0}. [/mm] Gibt es solch ein Beispiel auch für eine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix?
zur QR-Zerlegung:
- Für jede Matrix existiert eine QR-Zerlegung.
- Die QR-Zerlegung ist nicht eindeutig (ist das richtig? oder ist sie eindeutig bis auf...?)
- Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Matrix in QR zu zerlegen: Gram-Schmidt (eher LA), Householder Reflexionen und Givens-Rotationen. Ist es richtig, dass man eher Householder anwendet (jedenfalls per Hand?).
Was gibt es sonst noch zur QR-Zerlegung zu sagen?
So, und nun noch ein paar kurze Fragen zur Kondition (hab mich damit noch nicht groß beschäftigt, nur kurz ein paar Sachen gefunden, die ich verstehen möchte):
"Die Funktion [mm] $f:x\to [/mm] f(x)$, die eine hohe Konditionszahl [mm] \kappa(x) [/mm] hat, soll bei [mm] x_0 [/mm] ausgewertet werden. Die Daten in x sind jedoch gestört."
Nun gibt es mehrere "Antwortmöglichkeiten", eine davon ist: "Das Ergebnis lässt sich nicht weiter verbessern: Findet man eine Funktion g(x) mit [mm] g(x_0)=f(x_0), [/mm] so ist die Fehlerverstärkung genauso groß, weil die Kondition nur vom Problem abhängt."
Diese Antwort ist nicht richtig. Wie ist das nochmal mit der Kondition? Sie hängt nicht vom Problem, sondern vom Algorithmus ab oder wie war das? Und wenn man das Problem in mehrere Teilprobleme zerlegt, und auch nur ein einziges davon schlecht konditioniert ist, dann ist auch alles schlecht konditioniert? Könnte mir da vielleicht jemand kurz etwas zu erzählen?
Und dann noch etwas zur Stabilität und Kondition (hab' ich mich auch noch nicht groß mit beschäftigt):
Es gibt doch bestimmt irgendwelche Implikationen, so was wie: Aus Kondition folgt Stabilität oder andersrum oder so. Könnte mir das kurz jemand sagen?
Ich bin natürlich auch für Teilantworten dankbar.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane
> Zur LR-Zerlegung:
> - Es existiert nicht für jede Matrix eine LR-Zerlegung.
> - Wenn die LR-Zerlegung existiert, dann ist sie
> eindeutig.
> - Wenn die LR-Zerlegung existiert, dann ist die Matrix
> invertierbar.
L ist eine untere Dreiecksmatrix mit 1en auf der Diagonale und R hat keine Null auf der Diagonale. Dann stimmt das alles.
> So, bei diesen Eigenschaften bin ich mir noch ziemlich
> sicher. Nun habe ich mich aber gefragt, ob man einer Matrix
> direkt ansehen kann, ob eine LR-Zerlegung existiert. Es
> gilt offenbar:
> - Die Matrix ist invertierbar [mm]\not\Rightarrow[/mm] die
> LR-Zerlegung existiert.
>
> Nun habe ich noch folgendes gefunden:
> - Für jede symmetrisch positiv Matrix existiert eine
> LR-Zerlegung.
positiv definit heißt das 
> Ist das richtig? Wenn ja, warum? Ach ja, es geht übrigens
> nur um LR-Zerlegung ohne Pivotsuche.
Jetzt hast Du's schon selbst gesagt - weil dann eine LR Zerlegung ohne Pivotisierung möglich ist. Reicht das oder braucht's einen Beweis?
> Kann man sonst
> noch irgendetwas prüfen, um herauszufinden, ob eine
> LR-Zerlegung existiert?
Für eine diagonaldominante Matrix ginge es auch und es gab noch mehr die fallen mir aber grad nicht ein.
> Gibt es sonst noch irgendwelche wichtigen Eigenschaften,
> die ich wissen sollte?
k.A.
> Ach, und noch etwas: ein Standardbeispiel für eine [mm]2\times 2[/mm]-Matrix,
> für die keine LR-Zerlegung existiert, ist ja
> [mm]\pmat{0&1\\1&0}.[/mm] Gibt es solch ein Beispiel auch für eine
> [mm]3\times 3[/mm]-Matrix?
[mm]\pmat{1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0}[/mm]
> zur QR-Zerlegung:
> - Für jede Matrix existiert eine QR-Zerlegung.
Wenn R auf der Diagonale auch Nullen haben darf.
> - Die QR-Zerlegung ist nicht eindeutig (ist das richtig?
> oder ist sie eindeutig bis auf...?)
Diese Frage beantwortest Du gerade selbst:
> - Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Matrix in QR zu
> zerlegen: Gram-Schmidt (eher LA), Householder Reflexionen
> und Givens-Rotationen. Ist es richtig, dass man eher
> Householder anwendet (jedenfalls per Hand?).
Jein. Für Matrizen mit vielen Nullen eignen sich Givens Rotationen besser - glaub ich.
> Was gibt es sonst noch zur QR-Zerlegung zu sagen?
Gram Schmidt ist im Original instabil. Wenn man es tatsächlich verwenden will muß der Algo ein wenig modifiziert werden.
> So, und nun noch ein paar kurze Fragen zur Kondition (hab
> mich damit noch nicht groß beschäftigt, nur kurz ein paar
> Sachen gefunden, die ich verstehen möchte):
>
> "Die Funktion [mm]f:x\to f(x)[/mm], die eine hohe Konditionszahl
> [mm]\kappa(x)[/mm] hat, soll bei [mm]x_0[/mm] ausgewertet werden. Die Daten
> in x sind jedoch gestört."
> Nun gibt es mehrere "Antwortmöglichkeiten", eine davon
> ist: "Das Ergebnis lässt sich nicht weiter verbessern:
> Findet man eine Funktion g(x) mit [mm]g(x_0)=f(x_0),[/mm] so ist die
> Fehlerverstärkung genauso groß, weil die Kondition nur vom
> Problem abhängt."
Das Falsche in der Aussage ist wohl das g an der Stelle [mm] x_0 [/mm] nicht die gleiche Kondition haben muß nur weil die Funktionswerte übereinstimmen.
Aber
Was nützt einem eine Funktion die nur an einer Stelle gleich f ist. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Kondition - Stabilität
ganz kurz ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Kondition bezieht sich auf das Problem
Stabilität auf den Algorithmus - die durch den Algorithmus gefundene Lösung ist stetig von den Eingangsdaten abhängig.
viele Grüße
mathemaduenn
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