LR-Zerlegung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zu lösen sei das lineare Gleichungssystem [mm] Ax=b [/mm] mit der [mm] (n+1)\times(n+1)-Matrix [/mm]
[mm] A=\pmat{R & v \\ u^T & 0}.
[/mm]
Dabei sei R eine reguläre obere [mm] (n)\times(n)- [/mm] Matrix, u, v [mm] \in \IR^n [/mm] und x,b [mm] \in \IR^{n+1}. [/mm] Geben Sie eine Dreieckszerlegung A=LR an und zeigen Sie, dass A genau dann regulär ist, wenn [mm] u^TR^{-1}v \not= [/mm] 0 gilt. |
Der zweite Teil der Aufgabe erscheint mir machbar:
Zu zeigen ist eben: A ist regulär [mm] \gdw u^TR^{-1}v \not= [/mm] 0.
Hier arbeitet man sicherlich mit dem Begriff der positiven Definitheit.
Was mir Kopfzerbrechen bereitet, ist die gesuchte LR-Zerlegung. Ich weiß nicht, wie ich da herangehen kann.
Kann ich einen Hinweis bekommen?
(Bemerkung: Was eine LR-Zerlegung generell ist, weiß ich. Ich weiß das in diesem Fall jedoch nicht anzuwenden.)
Ich freue mich, wenn mir jemand helfen kann!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ist dies korrekt oder totaler Blödsinn?
Zu zeigen ist: A regulär [mm] \gdw u^TR^{-1}v\not=0. [/mm] |
Ich habe einen Beweis für den zweiten Teil der Aufgabe versucht und herausgekommen ist dies hier:
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Sei A regulär. Dann ist A insbesondere positiv definit. Außerdem gilt, dass dann alle Hauptabschnittsmatrizen regulär bzw. positiv definit sind.
Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung A=LR´, L linke untere Dreiecksmatrix mit den Einträgen [mm] l_{jj}=1 [/mm] für j=1,...,n+1, R´ rechte obere Dreiecksmatrix.
Daraus folgt:
1.) [mm] v\not=0, [/mm] da [mm] a_{n+1, n+1}\not=0 [/mm] (In Worten:"Das unterste Diagonalelement in R´ ist [mm] \not=0.")
[/mm]
2.) [mm] u^T\not=0, [/mm] da [mm] l_{n+1,n+1}=1 [/mm] (In Worten:"Das unterste Diagonalelement von L ist 1.").
Da R ohnehin reguläre symmetrische Matrix ist, ist [mm] det(R)\not=0 [/mm] und somit [mm] R^{-1}\not=0.
[/mm]
Also: [mm] u^TR^{-1}v\not=0.
[/mm]
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Es gelte [mm] u^TR^{-1}v\not=0.
[/mm]
Also sind [mm] u^T [/mm] und v jeweils [mm] \not=0.
[/mm]
R ist weiterhin reguläre Matrix, also [mm] det(R)\not=0.
[/mm]
Nun bin ich mir gar nicht sicher:
[mm] \Rightarrow xAx^T>0 [/mm] für alle x [mm] \in \IR^{n+1}, x\not=0.
[/mm]
D.h. A ist positiv definit und damit auch regulär. [mm] \Box
[/mm]
Ich bitte um Korrektur und reichlich Hinweise.
|
|
|
| |
|
Hallo dennis2,
> Ist dies korrekt oder totaler Blödsinn?
> Zu zeigen ist: A regulär [mm]\gdw u^TR^{-1}v\not=0.[/mm]
>
> Ich habe einen Beweis für den zweiten Teil der Aufgabe
> versucht und herausgekommen ist dies hier:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>
> Sei A regulär. Dann ist A insbesondere positiv definit.
> Außerdem gilt, dass dann alle Hauptabschnittsmatrizen
> regulär bzw. positiv definit sind.
Wenn A regulär ist, dann gilt [mm]\operatorname{det} \left(A\right) \not=0 [/mm]
> Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung A=LR´, L linke
> untere Dreiecksmatrix mit den Einträgen [mm]l_{jj}=1[/mm] für
> j=1,...,n+1, R´ rechte obere Dreiecksmatrix.
>
> Daraus folgt:
> 1.) [mm]v\not=0,[/mm] da [mm]a_{n+1, n+1}\not=0[/mm] (In Worten:"Das
> unterste Diagonalelement in R´ ist [mm]\not=0.")[/mm]
>
> 2.) [mm]u^T\not=0,[/mm] da [mm]l_{n+1,n+1}=1[/mm] (In Worten:"Das unterste
> Diagonalelement von L ist 1.").
>
> Da R ohnehin reguläre symmetrische Matrix ist, ist
> [mm]det(R)\not=0[/mm] und somit [mm]R^{-1}\not=0.[/mm]
>
> Also: [mm]u^TR^{-1}v\not=0.[/mm]
>
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
>
> Es gelte [mm]u^TR^{-1}v\not=0.[/mm]
> Also sind [mm]u^T[/mm] und v jeweils [mm]\not=0.[/mm]
> R ist weiterhin reguläre Matrix, also [mm]det(R)\not=0.[/mm]
>
> Nun bin ich mir gar nicht sicher:
> [mm]\Rightarrow xAx^T>0[/mm] für alle x [mm]\in \IR^{n+1}, x\not=0.[/mm]
>
> D.h. A ist positiv definit und damit auch regulär. [mm]\Box[/mm]
>
>
>
> Ich bitte um Korrektur und reichlich Hinweise.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Wie darf ich diesen Einwurf jetzt verstehen?
Ist alles richtig, außer das?
Oder alles falsch?? |
...
|
|
|
| |
|
Hallo dennis2,
> Wie darf ich diesen Einwurf jetzt verstehen?
> Ist alles richtig, außer das?
>
> Oder alles falsch??
> ...
Die Regularität von A geht nicht automatisch
einher mit der positiven Definitheit von A.
In sofern stimmt der ganze Beweis nicht.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Aber wie beweise ich das denn dann?
Gibts einen Tipp? |
ohje...
|
|
|
| |
|
Hallo dennis2,
> Aber wie beweise ich das denn dann?
> Gibts einen Tipp?
> ohje...
Dazu benötigst Du erstmal die LR-Zerlegung der Matrix A.
Dazu habe ich Dir hier einen Tipp gegeben.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo dennis2,
> Zu lösen sei das lineare Gleichungssystem [mm]Ax=b[/mm] mit der
> [mm](n+1)\times(n+1)-Matrix[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{R & v \\ u^T & 0}.[/mm]
>
> Dabei sei R eine reguläre obere [mm](n)\times(n)-[/mm] Matrix, u, v
> [mm]\in \IR^n[/mm] und x,b [mm]\in \IR^{n+1}.[/mm] Geben Sie eine
> Dreieckszerlegung A=LR an und zeigen Sie, dass A genau dann
> regulär ist, wenn [mm]u^TR^{-1}v \not=[/mm] 0 gilt.
> Der zweite Teil der Aufgabe erscheint mir machbar:
> Zu zeigen ist eben: A ist regulär [mm]\gdw u^TR^{-1}v \not=[/mm]
> 0.
> Hier arbeitet man sicherlich mit dem Begriff der positiven
> Definitheit.
>
> Was mir Kopfzerbrechen bereitet, ist die gesuchte
> LR-Zerlegung. Ich weiß nicht, wie ich da herangehen kann.
> Kann ich einen Hinweis bekommen?
Klar doch.
Setze hier an:
[mm]A=\pmat{R & v \\ u^T & 0}.=\pmat{E_{n} & 0 \\ l_{21} & E_{1}}*\pmat{r_{11} & r_{12} \\ 0 & r_{22}} [/mm]
und bestimme daraus [mm]l_{21}, \ r_{11}, \ r_{12}, \ r_{22}[/mm],
wobei die [mm]E_{k}[/mm] die Einheitsmatrix mit k Zeilen und k Spalten ist.
>
> (Bemerkung: Was eine LR-Zerlegung generell ist, weiß ich.
> Ich weiß das in diesem Fall jedoch nicht anzuwenden.)
>
>
> Ich freue mich, wenn mir jemand helfen kann!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich verstehe leider nicht, was gemeint ist.
Trotzdem vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Hallo dennis2,
> ...
> Ich verstehe leider nicht, was gemeint ist.
> Trotzdem vielen Dank!
Mit der LR-Zerlegung von A soll das Gleichungssystem Ax=b gelöst werden.
[mm]Ax=b \gdw LR*x=b =L*\left(Rx\right)=b[/mm]
Daraus ergibt sich dann [mm]Rx = L^{-1}*b[/mm]
Und dieses Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn R ... ist.
Bestimme also zuerst die LR-Zerlegung der Matrix A.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Okay, ich befolge das mal und verwende den angeratenen Ansatz. Dann erhalte ich Folgendes: |
[mm] A=\pmat{ R & v \\ u^T & 0 }=\pmat{E_n & 0 \\ \alpha & 1}*\pmat{\beta & \delta \\ 0 & \gamma}.
[/mm]
Bestimmung von [mm] \alpha,\beta,\delta,\gamma:
[/mm]
[mm] R=E_n*\beta \Rightarrow \beta=R
[/mm]
[mm] v=E_n*\delta \Rightarrow \delta=v
[/mm]
[mm] u^T=\alpha*\beta=\alpha*R \Rightarrow \alpha=u^T*R^{-1}
[/mm]
[mm] 0=\alpha*\delta+\gamma=u^T*R^{-1}*v+\gamma \Rightarrow \gamma= -u^T*R^{-1}v
[/mm]
Also lautet die Zerlegung:
[mm] A=\pmat{E_n & 0 \\ u^T*R^{-1} & 1}*\pmat{R & v \\ 0 & -u^T*R^{-1}*v}.
[/mm]
Und daraus folgt jetzt, dass A genau dann regulär ist, wenn [mm] u^T*R^{-1}*v=-\gamma\not=0 [/mm] ist?
|
|
|
| |
|
Hallo dennis2,
> Okay, ich befolge das mal und verwende den angeratenen
> Ansatz. Dann erhalte ich Folgendes:
> [mm]A=\pmat{ R & v \\ u^T & 0 }=\pmat{E_n & 0 \\ \alpha & 1}*\pmat{\beta & \delta \\ 0 & \gamma}.[/mm]
>
> Bestimmung von [mm]\alpha,\beta,\delta,\gamma:[/mm]
>
> [mm]R=E_n*\beta \Rightarrow \beta=R[/mm]
> [mm]v=E_n*\delta \Rightarrow \delta=v[/mm]
>
> [mm]u^T=\alpha*\beta=\alpha*R \Rightarrow \alpha=u^T*R^{-1}[/mm]
>
> [mm]0=\alpha*\delta+\gamma=u^T*R^{-1}*v+\gamma \Rightarrow \gamma= -u^T*R^{-1}v[/mm]
>
> Also lautet die Zerlegung:
> [mm]A=\pmat{E_n & 0 \\ u^T*R^{-1} & 1}*\pmat{R & v \\ 0 & -u^T*R^{-1}*v}.[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und daraus folgt jetzt, dass A genau dann regulär ist,
> wenn [mm]u^T*R^{-1}*v=-\gamma\not=0[/mm] ist?
>
Ja.
Die Matrix [mm]\pmat{R & v \\ 0 & -u^T*R^{-1}*v}[/mm] ist genau dann regulär,
wenn [mm]u^T*R^{-1}*v\not=0[/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Super!!
Ich bedanke mich ganz herzlich für die Hilfe!
Alleine hätte ich mich verirrt.
Was heißt hätte , ich habe mich ja verirrt, siehe oben.
|
|
|
|
