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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - LGS mit a und b
LGS mit a und b < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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LGS mit a und b: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Sa 10.02.2007
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gegeben sei das LGS:


[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 3 &0 & a \\ 7 & 2 & -4} \vektor{x1\\ x2 \\ x3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ b} [/mm]

a) Bestimmen Sie für a=3 und b=-9 die Lösungsmenge des LGS!
b) Für welche Kombinationen von a,b [mm] \in [/mm] R besitzt das LGS genau eine Lösung, für welche Kombinationen ist die Lösungsmenge des LGS ein 1-dimensionaler Vektorraum, für welche Kombinationen existiert keine Lösung?

moin,

zu a)

[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 3 &0 & a :0 \\ 7 & 2 & -4 :-9} [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 0 &1 & -1 :0 \\ 0 & 0 & -1 :-1} [/mm]

L= { -1 / 1 / 1}

zu b)

hier weiss ich nicht genau. ich habe das LGS zuerst allgemein umgeformt:

[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 0 &3 & a-6 :0 \\ 0 & 0 & -3a : b} [/mm]

-3a*x3 = b

x3 = [mm] \bruch{b}{3a} [/mm]

=> nicht lösbar für a=0

x2= [mm] \bruch{(a-6)*b}{9a} [/mm]

x1= [mm] \bruch{b}{9} [/mm]


aber wie prüfe ich jetzt weiter?

wenn dim(A)=1 sein soll, dann müssen die vektoren linear abhängig von einander sein.

dennoch komme ich nicht auf einen ansatz, muss ich hierbei die rechte seite berücksichtigen.

könnte vielleicht sagen:

r* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = s * [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ a-6} [/mm] = t* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -3a} [/mm]

???

danke & gruß
wolfgang








        
Bezug
LGS mit a und b: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Sa 10.02.2007
Autor: ullim

Hi,

> Gegeben sei das LGS:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 3 &0 & a \\ 7 & 2 & -4} \vektor{x1\\ x2 \\ x3}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ b}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie für a=3 und b=-9 die Lösungsmenge des
> LGS!
>  b) Für welche Kombinationen von a,b [mm]\in[/mm] R besitzt das LGS
> genau eine Lösung, für welche Kombinationen ist die
> Lösungsmenge des LGS ein 1-dimensionaler Vektorraum, für
> welche Kombinationen existiert keine Lösung?
>  
> moin,
>  
> zu a)
>  
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 3 &0 & a :0 \\ 7 & 2 & -4 :-9}[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 0 &1 & -1 :0 \\ 0 & 0 & -1 :-1}[/mm]
>  
> L= { -1 / 1 / 1}
>  
> zu b)
>
> hier weiss ich nicht genau. ich habe das LGS zuerst
> allgemein umgeformt:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 0 &3 & a-6 :0 \\ 0 & 0 & -3a : b}[/mm]
>  
> -3a*x3 = b
>  
> x3 = [mm]\bruch{b}{3a}[/mm]

Hier ist richtig
x3 = [mm] -\bruch{b}{3a} [/mm]

>  
> => nicht lösbar für a=0
>
> x2= [mm]\bruch{(a-6)*b}{9a}[/mm]
>  
> x1= [mm]\bruch{b}{9}[/mm]
>  
>
> aber wie prüfe ich jetzt weiter?
>  

Es gibt vier Fälle

I)    a=0   und b=0
II)   [mm] a\ne0 [/mm]   und b=0
III)  a=0   und [mm] b\ne0 [/mm]
IV)   [mm] a\ne0 [/mm]   und [mm] b\ne0 [/mm]

Sei b der Vektor [mm] b=\vektor{0 \\ 0 \\ b} [/mm] und

A die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 3 &0 & a \\ 7 & 2 & -4} [/mm] sowie

[mm] (A|b)=\pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & a & 0 \\ 7 & 2 & -4 & b} [/mm]

Fall I)
Hier gibt es unendlich viele Lösungen. Die Dimension des Lösungsraums ist 3-rang(A|b)=1 weil rang(A|b)=2 gilt

Fall II)
Hier ist Rang(A)=3 also gibt es genau eine Lösung

Fall III)
Hier ist Rang(A)=3 und Rang(A|b)=2 also gibt es keine Lösung

Fall IV)
Hier ist Rang(A)=3 also gibt es auch hier genau eine Lösung


mfg ullim

Bezug
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