LGS mit Gauß lösen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Fr 27.10.2006 | | Autor: | sasalein |
| Aufgabe | Löse das Gleichungssystem mit Hilfe des Gaußschen Eliminationverfahren:
[mm] x_1+x_2=0
[/mm]
[mm] x_2+x_3=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] x_n+x_1=0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Durch logisches Überlegen bin ich darauf gekommen, dass das LGS zwei Lösungen haben muss. Entweder [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] sind 0 oder ,wenn n gerade ist, kann [mm] x_k [/mm] = [mm] -x_{k+1} [/mm] sein.
Ich weiß aber nicht, wie ich das aufschreiben soll.
Bei dem ersten Lösung könnte ich mir noch folgendes vorstellen:
1 1 0 0 0 [mm] \cdots [/mm] 0 | 0
0 1 1 0 0 [mm] \cdots [/mm] 0 | 0
[mm] \vdots
[/mm]
1 0 0 0 0 [mm] \cdots [/mm] 1 | 0
dann könnte ich daneben vermerken, dass ich die untere zeile von der zeile darüber abziehen bis ich:
[mm] x_k [/mm] = 0 (für k=1, ..., n)erhalte. ist das so richtig? und wie beweise ich, dass bei grader Zeilenanzahl auch die andere Lösung möglich ist?
Danke für eure Hilfe
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Hi, sasalein,
> Löse das Gleichungssystem mit Hilfe des Gaußschen
> Eliminationverfahren:
>
> [mm]x_1+x_2=0[/mm]
> [mm]x_2+x_3=0[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]x_n+x_1=0[/mm]
>
> Durch logisches Überlegen bin ich darauf gekommen, dass das
> LGS zwei Lösungen haben muss. Entweder [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_n[/mm] sind 0
> oder ,wenn n gerade ist, kann [mm]x_k[/mm] = [mm]-x_{k+1}[/mm] sein.
>
> Ich weiß aber nicht, wie ich das aufschreiben soll.
>
> Bei dem ersten Lösung könnte ich mir noch folgendes
> vorstellen:
>
> 1 1 0 0 0 [mm]\cdots[/mm] 0 | 0
> 0 1 1 0 0 [mm]\cdots[/mm] 0 | 0
> [mm]\vdots[/mm]
> 1 0 0 0 0 [mm]\cdots[/mm] 1 | 0
>
> dann könnte ich daneben vermerken, dass ich die untere
> zeile von der zeile darüber abziehen bis ich:
>
> [mm]x_k[/mm] = 0 (für k=1, ..., n)erhalte. ist das so richtig? und
> wie beweise ich, dass bei grader Zeilenanzahl auch die
> andere Lösung möglich ist?
Also: Ich hätte erst mal die unterste Zeile des Gauß-Schemas nach oben geschrieben und dann zeilenweise addiert bzw. subtrahiert: I-II, II+III usw.
Am Ende bleibt in der letzten Zeile rechts unten für ungerades n eine 1 übrig: Dann sind die [mm] x_{k} [/mm] alle gleich 0.
Für gerades n hingegen fällt in der letzten Zeile alles weg und links unten steht auch die 0:
Dann hat das LGS unendlich viele Lösungen. Du kannst also [mm] x_{n} [/mm] = k setzen und dies in die vorletzte Zeile einsetzen; usw.
Müsste hinhauen! Probier's mal aus!
mfG!
Zwerglein
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