LGS in Abhängigkeit v. Unbek. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:03 Mo 30.01.2006 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | Man untersuche, für welche $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] das GS reelle Lösungen besitzt:
$ax + z = a$
$2x + (ab+1)y + 2az = 2b$
$bx + a^2z = 2$
$x + aby + az = b$ |
Halli-Hallo!
Ich weiß ja so einigermaßen, wie ich LGS löse, und die Lösungen in Abhängigkeit von einer Unbekannten zu bestimmen, kriege ich - meistens - auch noch hin, nur hier bei der Aufgabe, finde ich keinen richtigen Ansatz.
Könnte mir jemand sagen, wie ich generell an so ein LGS am besten herangehe?
Mein Ansatz bislang ist etwas unsystematisch:
[mm] $\pmat{ a & 0 & 1 & a \\ 2 & ab+1 & 2a & 2b \\ b & 0 & a^2 & 2 \\ 1 & ab & a & b }$
[/mm]
Ich habe dann wie folgt umgeformt: $II - 2IV$, $IV + II$, Zeilen vertauschen, das ergibt dann:
[mm] $\pmat{ 1 & 1 & a & b \\ a & 0 & 1 & a \\ b & 0 & a^2 & 2 \\ 0 & -ab+1 & 0 & 0 }$
[/mm]
Das a-fache von I von II, das b-fache von I von III abziehen, danach dann noch das -b-fache von II vom a-fachen von III  :
[mm] $\pmat{ 1 & 1 & a & b \\ 0 & -a & 1-a^2 & a-ab \\ 0 & 0 & a^3-b & 2a-ab \\ 0 & -ab+1 & 0 & 0 }$
[/mm]
Nun habe ich allerdings mehrere Bedingungen, die ich nicht so recht ordentlich zusammengefasst kriege; es läuft so halt auf eine ziemlich unsystematische Fallunterscheidung hinaus: z.B. ist -ab+1 = 0, so ist die untere Zeile eine Nullzeile. Die Determinante der "restlichen" 3x3-Matrix von A ist [mm] $-a^4+ab$, [/mm] woraus folgt, sie ist null, wenn a=b=1 sind. Setze ich das ein, kriege ich raus, dass das LGS keine reelle Lösung hat.
Außerdem muss ich für die Fälle, bei denen ich bei Zeilenumformungen mit a oder b multipliziert habe ja voraussetzen, dass a bzw. b != 0, d.h. die Fälle a=0 oder b=0, muss ich nochmal gesondert betrachten?!
Das hat alles so etwas von Rumraten und Flickwerk. Wie kann ich da systematischer rangehen? Wäre nett, wenn mir jmd. auf die Sprünge helfen könnte
Gruß,
Carsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo smee,
leider konnte dir in dem von dir vorgegebenen Zeitraum niemand helfen. Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße
Astrid
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