LGS: Redundante Gleichungen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lineares Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen und n Unbekannten (rechte Seite der Gleichungen ist immer gleich 0). Es existiert eine Gleichung, die man weglassen kann, ohne dass sich die Lösungsmenge des LGS ändert. Diese soll identifiziert werden. |
Hallo,
ich muss im Rahmen meiner Bachelorarbeit (Informatik) die obige Problemstellung lösen. Mit dem mir vorliegenden Material komme ich allerdings nicht so weit, da die Lösung für das Problem nicht allzu klar formuliert ist (und mir die Thematik auch leider nicht allzu sehr liegt :) ).
Es gibt wohl mehrere Wege, die zum Ziel führen, zum einen über die Determinante, zum anderen über den Rang der Koeffizientenmatrix (genauer gesagt über die Determinanten/Ränge von n+1 Koeffizientenmatrizen, wobei jeweils eine der Gleichungen weggelassen wird, um eine quadratische Matrix zu bekommen).
Was ich verstanden habe: Wenn die Determinante einer nXn-Koeffizientenmatrix ungleich Null ist, dann hat sie Rang = n und somit ist die weggelassene Gleichung redundant.
Es existiert aber wohl auch die Möglichkeit, dass alle n+1 Matrizen, die durch das Weglassen einer Gleichung entstehen, die Determinante = 0 haben.
Der folgende Schritt ist mir nun nicht ganz klar: Man muss wohl in allen nXn-Matrizen jeweils die erste Spalte (also den ersten Koeffizienten) weglassen und das obige Verfahren auf alle Submatrizen der so enstehenden nX(n-1)-Matrix anwenden. Oder so ähnlich jedenfalls. Könnte mir jemand diesen Schritt eventuell genauer erläutern? So ganz verstehe ich leider nicht, wie ich vorgehen muss.
Alternativ: Gibt es eventuell andere (einfachere?) Wege, die redundante Gleichung zu identifizieren?
Danke schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Es existiert eine Gleichung, die man weglassen kann,
> ohne dass sich die Lösungsmenge des LGS ändert. Diese
> soll identifiziert werden.
Es kann durchaus mehrere Gleichungen in dem LGS geben, die redudant sind. Zumindestens existiert mindestens eine solche Gleichung.
> Hallo,
>
> ich muss im Rahmen meiner Bachelorarbeit (Informatik) die
> obige Problemstellung lösen. Mit dem mir vorliegenden
> Material komme ich allerdings nicht so weit, da die Lösung
> für das Problem nicht allzu klar formuliert ist (und mir
> die Thematik auch leider nicht allzu sehr liegt :) ).
Aber lineare Algebra hast du gehört?
>
> Es gibt wohl mehrere Wege, die zum Ziel führen, zum einen
> über die Determinante, zum anderen über den Rang der
> Koeffizientenmatrix (genauer gesagt über die
> Determinanten/Ränge von n+1 Koeffizientenmatrizen, wobei
> jeweils eine der Gleichungen weggelassen wird, um eine
> quadratische Matrix zu bekommen).
Das ist beides in etwa die gleiche (zu aufwendige) Methode.
>
> Was ich verstanden habe: Wenn die Determinante einer
> nXn-Koeffizientenmatrix ungleich Null ist, dann hat sie
> Rang = n und somit ist die weggelassene Gleichung
> redundant.
Jepp.
> Es existiert aber wohl auch die Möglichkeit, dass alle
> n+1 Matrizen, die durch das Weglassen einer Gleichung
> entstehen, die Determinante = 0 haben.
Dann gibt es mindestens zwei redudante Gleichungen. Wenn in einer n+1 kreuz n Matrix alle Zeilen gleich sein, dann ist es offensichtlich wurscht welche Zeile man weglässt, da die Redundanz der anderen Zeilen ebenfalls die Determinante 0 zur Folge hat.
> Der folgende Schritt ist mir nun nicht ganz klar: Man muss
> wohl in allen nXn-Matrizen jeweils die erste Spalte (also
> den ersten Koeffizienten) weglassen und das obige Verfahren
> auf alle Submatrizen der so enstehenden nX(n-1)-Matrix
> anwenden. Oder so ähnlich jedenfalls. Könnte mir jemand
> diesen Schritt eventuell genauer erläutern? So ganz
> verstehe ich leider nicht, wie ich vorgehen muss.
>
Die Zeile, die man weglassen kann ist also linear abhängig von den anderen. In jeder Submatrix, in diese Zeile vorhanden ist hast du keine vollen Rang. Sobald du aber die richtige Zeile weglässt, hat die Submatrix vollen Rang. Somit kannst du diese identifizieren.
effektiver:
Transponieren und reduzierte Zeilenstufenform ausrechnen.
Dann sollte dir etwas auffallen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Do 26.09.2013 | | Autor: | KingBuzzo |
Besten Dank, der von Dir vorgeschlagene Weg ist sicherlich am einfachsten :)
Lin. Algebra hab ich gehört, aber ist schon ein Weilchen her und LGS' wurden wenn ich mich recht erinnere nicht so ausführlich behandelt.
Könntest Du vllt. nochmal kurz erläutern, warum das Verfahren (transponieren, dann reduzierte Zeilenstufenform berechnen) funktioniert? Das ist mir peinlicherweise noch nicht wirklich klar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Do 26.09.2013 | | Autor: | wieschoo |
> Könntest Du vllt. nochmal kurz erläutern, warum das
> Verfahren (transponieren, dann reduzierte Zeilenstufenform
> berechnen) funktioniert? Das ist mir peinlicherweise noch
> nicht wirklich klar.
Könnte ich. Würde ich aber erst in 7 Tagen oder so machen. Das ist immerhin eine Bachelorarbeit.
Vielleicht solltest du dich noch einmal dahinterklemmen und dich über Zeilenraum, Spaltenraum, lineare Unabhängigkeit,....
informieren.
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