LGS Lösen, Konditionszahl best < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir haben das Gleichungssystem [mm] A\* [/mm] x = b
A = [mm] \pmat{ 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.2 }
[/mm]
b = [mm] \vektor{ 1 \\ 1 }
[/mm]
Zu bestimmen ist die Inverse [mm] A^{-1} [/mm] sowie die Lösung x des Systems und die Kinditionszahl [mm] k_{\infty} [/mm] (A) bezüglich der Norm [mm] \parallel \parallel_{\infty} [/mm] |
Hallo ihr lieben,
bin folgendermaßen vorgegangen:
Für die Inverse:
[mm] \vmat{ 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.2 } \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
[mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \vmat{ -4 & 10 \\ 10 & -20 } [/mm]
damit hätten wir [mm] A^{-1}
[/mm]
Nun bestimme ich die Kinditionszahl:
Diese ist ja definiert als [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{\infty} \* \parallel A^{-1} \parallel_{\infty}
[/mm]
Wobei die unendlich-Norm bei uns hier als Zeilensummennorm definiert wurde.
D.h.
1.5 * 30 = 45 = [mm] k_{\infty} [/mm] (A)
Nun habe ich aber eine Frage zur Lösung des Systems.
Normalerweise gehe ich aber so vor:
[mm] \pmat{ 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.2 } [/mm] * x = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 0.5x_{2} [/mm] = 1
[mm] 0.5x_{1} [/mm] + [mm] 0.2x_{2} [/mm] = 1
und löse dann auf.
Dadurch bekomme ich einen 2 dimensinalen Vektor für x raus.
Jedoch steht hier in der Musterlösung bei mir
x = [mm] A^{-1} \*b
[/mm]
und irgendwas von det(A) = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Doch warum?
Vielen Dank
steffi
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Mit dem [mm] \bruch{1}{2} [/mm] war ein Tippfehler...
Aber jetzt wo Du mir die allg. Formel aufgeschrieben hast, erinnere ich mich wieder 
> Nun (da A wegen [mm]det(A)\neq 0[/mm] invertierbar ist) kannst du
> dein LGS [mm]Ax=b[/mm] mit [mm]A^{-1}[/mm] von links multiplizieren
Kann oder muss in diesem Fall?
Ich hätte es nämlich in einer Prüfung mit "meiner Methode" gemacht... :)
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Hallo nochmal,
> Mit dem [mm]\bruch{1}{2}[/mm] war ein Tippfehler...
> Aber jetzt wo Du mir die allg. Formel aufgeschrieben hast,
> erinnere ich mich wieder
>
>
> > Nun (da A wegen [mm]det(A)\neq 0[/mm] invertierbar ist) kannst du
> > dein LGS [mm]Ax=b[/mm] mit [mm]A^{-1}[/mm] von links multiplizieren
>
> Kann oder muss in diesem Fall?
> Ich hätte es nämlich in einer Prüfung mit "meiner Methode"
> gemacht... :)
Das ist schon ok mit "deiner Methode", nur ist mit der "effizienten" Methode nur die $det(A)$ zu berechnen, die Inverse kannst du dann hinschreiben.
Und das Produkt [mm] $A^{-1}\cdot{}b$ [/mm] ist auch schneller berechnet als dein LGS von oben, mit dem du nachher [mm] $x_1, x_2$ [/mm] berechnest.
Du hast die Wahl 
Probier's doch mal zur Übung auf dem kurzen Weg, dann hast du einen guten Vergleich bzgl. des Aufwandes
LG
schachuzipus
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