LGS Lösbarkeit? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mi 27.01.2010 | | Autor: | mich1985 |
| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen a hat das lineare Gleichungssystem
x + y + az = 7
x + 2z = 4
3x- 2y+ 8z = 6
(a) keine, (b) genau eine und (c) unendlich viele Lösungen? Geben Sie im Fall (c) die Lösungsmenge des Gleichungssystems sowie im Fall (b) die Lösung in Abhängigkeit von a an. |
Hallo zusammen,
bei der oben genannten Aufgabe bin ich derzeit etwas ratlos. Hier meine bisherigen Ergebnisse.
Zuerst hab ich die Matrix für die Gleichung aufgestellt und anschliessend die Determinante bestimmt:
det(A)=2-2a
Das heißt ja dann, dass für alle Werte [mm] \IR\setminus\{1\} [/mm] das LGS eindeutig bestimmbar ist oder?
Nach ein wenig Auflösungsarbeit habe ich dann die folgende Matrix erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & a & |7\\ 0 & 1 & a-2 & |3 \\ 0 & 0 & a+1 & |0 }
[/mm]
Wie sollte/müsste ich nun weitermachen? Wie geht man bei so einer Aufgabe normalerweise vor?
Gruß
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Hallo Florian,
> Für welche reellen Zahlen a hat das lineare
> Gleichungssystem
> x + y + az = 7
> x + 2z = 4
> 3x- 2y+ 8z = 6
> (a) keine, (b) genau eine und (c) unendlich viele
> Lösungen? Geben Sie im Fall (c) die Lösungsmenge des
> Gleichungssystems sowie im Fall (b) die Lösung in
> Abhängigkeit von a an.
> Hallo zusammen,
> bei der oben genannten Aufgabe bin ich derzeit etwas
> ratlos. Hier meine bisherigen Ergebnisse.
>
> Zuerst hab ich die Matrix für die Gleichung aufgestellt
> und anschliessend die Determinante bestimmt:
> det(A)=2-2a
>
> Das heißt ja dann, dass für alle Werte [mm]\IR\setminus\{1\}[/mm]
> das LGS eindeutig bestimmbar ist oder?
>
> Nach ein wenig Auflösungsarbeit habe ich dann die folgende
> Matrix erhalten:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & a & |7\\ 0 & 1 & a-2 & |3 \\ 0 & 0 & a\red{+}1 & |0 }[/mm]
Hach, da habe ich auf die Schnelle in der letzten Zeile [mm] $a\red{-}1$ [/mm] raus, überprüfe das bitte nochmal.
>
> Wie sollte/müsste ich nun weitermachen? Wie geht man bei
> so einer Aufgabe normalerweise vor?
Nun, die ZSF ist schon mal sehr gut, daran kannst du die Lösbarkeit "ablesen"
Beginne in der letzten Zeile.
Da steht ausgeschrieben (in meiner Version): [mm] $(a-1)\cdot{}z=0$
[/mm]
Was passiert, wenn $a=1$ ist.
Dann steht da [mm] $0\cdot{}z=0$, [/mm] was offenbar für jedes [mm] $\in\IR$ [/mm] erfüllt ist.
Du kannst also $z$ frei wählen, sagen wir $z=t$ mit [mm] $t\in\IR$
[/mm]
Dann mit Rückwärtseinsetzen die Lösungen für $x,y$ berechnen.
Dann nächster Fall: [mm] $a\neq [/mm] 1$. Dann darfst du in der letzten Zeile durch $a-1$ teilen und bekommst:
[mm] $z=\frac{0}{a-1}=0$
[/mm]
Damit dann in die anderen Gleichungen rein ...
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Mi 27.01.2010 | | Autor: | mich1985 |
Danke!
Und du hattest natürlich recht mit dem a-1! Hier noch meine Ergebnisse für den Fall das es jemanden interessiert:
Fall 1: a=1
[mm] z=\mu, y=3+\mu, x=4-2\mu; [/mm] wobei [mm] \mu \in \IR
[/mm]
Fall 2: [mm] a\not=1
[/mm]
z=0, y=3, x=4;
Gruß und danke
flo
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