LGS - Lösungsdiskussion < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Do 04.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben ist folgendes LGS:
(a-1)*x+2*y=-1
-3*x+(2*a+5)y-z=3
(2*a-5)*x-a*y-z=1
y-x=0
Untersuchen Sie das LGS wobei a [mm] \in \IR [/mm] frei wählbar ist |
Hallo alle zusammen!
Also normalerweise löse ich diese Systeme immer mit Gauss, mich wirft hier nur die 4. Gleichung etwas über den Haufen.
Also ich bin gas ganze so angegangen:
1) Ich bringe die Matrix auf eine Stufenform:
((a-1)*x+2*y=-1)*(3)
(-3*x+(2*a+5)*y-z=3) * (a-1)
Ergibt: (2*a²+3*a+1)*y-(a-1)*z=3*a-6
((a-1)*x+2*y=-1)*(2a-5)*(-1)
(2a-5)*x+ay-z=1)*(a-1)
Ergibt: (a²-5a+10)*y - (a-1)z = 3a-6
Somit:
((2*a²+3*a+1)*y-(a-1)*z=3*a-6) * (a²-5a+10) * -1
((a²-5a+10)*y - (a-1)z = 3a-6) * (2*a²+3*a+1)
Ergibt:
(a-1)*-1 *(a²+8a-9)*z=3*(a-2)*(a²+8*a-9)
Wobei klar ersichtlich ist:
z anulliert sich für: -9 und 1
die Lösung annulliert sich für: 2,-9,1
Somit hätten wir für a= 2 keine Lösung
und für a=1 und a=-9 die Lösung 0=0 und somit unendlich viele Lösungen
Die Lösung dieser Aufgabe sagt mir allerdings etwas anderes. Wie ich auch gleich andeuten kann, meine Rechnung hat den Fakt x=y ingorniert, wobei auch das falsche Ergebnis herauskommen wird.
Löse ich das ganze jetzt mit x=y so habe ich 3 Gleichungen und 2 Unbekannte. Kann man da überhaupt mit Gauss arbeiten?
Soll ich einfach das Gleichungssystem lösen und mir anschauen, ob ein a unter einem Bruch ist und ob sich ein Bruch anulliert, und sofern er sich anulliert, den Wert finden, für welchen sich der nenner anulliert?
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> Gegeben ist folgendes LGS:
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> (a-1)*x+2*y=-1
> -3*x+(2*a+5)y-z=3
> (2*a-5)*x-a*y-z=1
> y-x=0
>
> Untersuchen Sie das LGS wobei a [mm]\in \IR[/mm] frei wählbar ist
> Hallo alle zusammen!
>
> Also normalerweise löse ich diese Systeme immer mit Gauss,
> mich wirft hier nur die 4. Gleichung etwas über den
> Haufen.
Diese vierte Gleichung ist doch im Gegenteil sehr praktisch !
Sie reduziert die Anzahl der Unbekannten von drei auf zwei.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Do 04.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Gegeben ist folgendes LGS:
> >
> > (a-1)*x+2*y=-1
> > -3*x+(2*a+5)y-z=3
> > (2*a-5)*x-a*y-z=1
> > y-x=0
> >
> > Untersuchen Sie das LGS wobei a [mm]\in \IR[/mm] frei wählbar ist
> > Hallo alle zusammen!
> >
> > Also normalerweise löse ich diese Systeme immer mit Gauss,
> > mich wirft hier nur die 4. Gleichung etwas über den
> > Haufen.
>
>
> Diese vierte Gleichung ist doch im Gegenteil sehr praktisch
> !
> Sie reduziert die Anzahl der Unbekannten von drei auf
> zwei.
>
Nun das ist wohl war, jedoch bin ich es gewohnt immer mit Gauss zu arbeiten. Habe ich jetzt 2 unbekannte und 3 Gleichungen. Was kann man dann machen, um zu untersuchen, wo das Problem liegt?
Die Matrix auf eine Stufenform bringen und dann 2 Fälle untersuchen, bei welchen z in Abhängigkeit von a steht?
Danke für die schnelle Antwort
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ein GS mit 3 Unbekannten und 4 Gleichungen ist ueberbestimmt.
Dass du dann einfach die einfachst der Gl. weglaesst ist ungeschickt, wenn auch nicht falsch.
Du loest das GS mit den 3 einfachsten
Gleichungen,wenn du Loesungen findest ueberpruefst du, ob sie auch fuer die vierte gelten.
2. du rechnest umstaendlich! man kann gleichungen auch beim Gaussverfahren umstellen, hier haette sich etwa angeboten zuerst z zu eliminieren.
Dadurch ist es sehr muehsam nachzurechnen!
3. Du sprichst immer von Annulieren von z, das ist ne eigenartige Ausdrucksweise.
bei :
(a-1)*-1 *(a²+8a-9)*z=3*(a-2)*(a²+8*a-9)
seh ich nicht, wo sich z "annulieren" sollte, wenn das z=0 bedeutet.
falls die Gl. noch richtig ist, ist sie fuer beliebige z richtig, falls [mm] a^2+8a-9)=0
[/mm]
sonst z=3*(a-2)/(1-a)
d.h. fuer a=2 folgt z=0
Da du nicht weiter untersucht hast hoer ich hier auch auf. deine Umformungen hab ich nicht alle nachgerechnet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 04.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> 1. ein GS mit 3 Unbekannten und 4 Gleichungen ist
> ueberbestimmt.
> Dass du dann einfach die einfachst der Gl. weglaesst ist
> ungeschickt, wenn auch nicht falsch.
> Du loest das GS mit den 3 einfachsten
> Gleichungen,wenn du Loesungen findest ueberpruefst du, ob
> sie auch fuer die vierte gelten.
Hm nun sowas dachte ich mir auch, deshalb auch mein Rechenweg. Jedoch war mir das vernachlässigen der 4. Gleichung eine doch zu drastische Maßnahme, deshalb habe ich die einfachste weggelassen.
Also könnte ich getrost folgendes System verwenden:
(a-1)x+2y=1
-3x+(2a+5)y-z=3
x=y
Welches mich zu folgendem Gleichungssystem bring:
(a+1)y=1 => [mm] y=\bruch{1}{a+1}
[/mm]
-3x+(2a+5)y-z=3 => [mm] \bruch{-3}{a+1}+\bruch{2a+5}{a+1}-z=3
[/mm]
bringt mich zu: z[a+1] = -a-1 welche wieder auf die Lösung a=-1 führt welche auch schon beim vorherigen zu untersuchen galt.
Du meintest, ich wollte jetzt überprüfen, ob sie auch für die 4. gelten? Wie stelle ich das am Besten an? Soll ich jetzt versuchen die 3 Gleichungen:
(a-1)*x+2*y=-1
-3*x+(2*a+5)y-z=3
(2*a-5)*x-a*y-z=1
mit a=-1 zu lösen und zu schauen, ob ich:
-eine Lösung
-unendliche viele Lösungen
-keine Lösungen
habe?
> 2. du rechnest umstaendlich! man kann gleichungen auch
> beim Gaussverfahren umstellen, hier haette sich etwa
> angeboten zuerst z zu eliminieren.
Wenn ich z eliminiere, wie bringe ich dann die Matrix auf eine passende Stufenform?
> Dadurch ist es sehr muehsam nachzurechnen!
habe alles mit Derive kontrolliert, bevor ich gepostet habe :)
> 3. Du sprichst immer von Annulieren von z, das ist ne
> eigenartige Ausdrucksweise.
Habe ich vom italienischen relativ billig eingedeutsch, wobei ich anullare = anullieren mir angewöhnt habe. Wobei anullare auf ital heißt, dass ein Wert = 0 wird und anullieren auf deutsch wohl doch etwas anders engesetzt wird. Entschuldige, es ist manchmal nicht so leicht zwischen 2 Sprachen hin und her zu schreiben :)
> bei :
> (a-1)*-1 *(a²+8a-9)*z=3*(a-2)*(a²+8*a-9)
> seh ich nicht, wo sich z "annulieren" sollte, wenn das z=0
> bedeutet.
> falls die Gl. noch richtig ist, ist sie fuer beliebige z
> richtig, falls [mm]a^2+8a-9)=0[/mm]
> sonst z=3*(a-2)/(1-a)
> d.h. fuer a=2 folgt z=0
> Da du nicht weiter untersucht hast hoer ich hier auch auf.
> deine Umformungen hab ich nicht alle nachgerechnet.
> Gruss leduart
Nun das Problem ist, die Lösung laut Lösungsheft wäre folgende:
Für a=-9 habe ich 1 Lösung und zwar: x=1/8 , y=1/8 und z=-5 und für [mm] a\not= [/mm] 0 existiert keine Lösung. Das hat mich eben etwas ins grübeln gebracht, da in der Lösung nur der Wert a=-9 berücksichtigt wird, und wir hier a=-1 und a=2 auch noch im Spiel haben.
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
annullieren und annulare scheint das gleiche zu sein z=0
warum nicht das hinschreiben? das war aber ja falsch.
Nichts hindert dich z=x1,x=x2,y=x3 zu nennen (oder zu denken, und damit das normale Gaussverfahren, 0 in der ersten Spalte zuerst erzeugen zu verwenden.
es ist immer bei GS guenstig, sie so zu ordnen, dass die ersten 0 leicht entstehen!
du hast festgestellt: fuer a=-1 gibts keine Loesung. der gewaehlten 3 gleichungen, also auch nicht der vier.
fuer [mm] a\ne1 [/mm] hast du Loesungen der 3 Gleichungen.
dies Loesungen, die ja noch von a abhaengen setzt du jetz in die 4. Gl. ein. Damit auch diese erfuellt ist kriegst du ne Bedingung fuer a. Fertig! So einfach!
Gruss nach Italien leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 04.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> annullieren und annulare scheint das gleiche zu sein z=0
> warum nicht das hinschreiben? das war aber ja falsch.
> Nichts hindert dich z=x1,x=x2,y=x3 zu nennen (oder zu
> denken, und damit das normale Gaussverfahren, 0 in der
> ersten Spalte zuerst erzeugen zu verwenden.
> es ist immer bei GS guenstig, sie so zu ordnen, dass die
> ersten 0 leicht entstehen!
> du hast festgestellt: fuer a=-1 gibts keine Loesung.
Hallo!
Also für a=-1 haben wir doch unendlich viele Lösungen, a=-1 setzt meine Lösung doch 0=0 und in diesem Fall kann ich doch z=t setzen wobei t [mm] \in \IR [/mm] frei wählbar ist.
der
> gewaehlten 3 gleichungen, also auch nicht der vier.
> fuer [mm]a\ne1[/mm] hast du Loesungen der 3 Gleichungen.
> dies Loesungen, die ja noch von a abhaengen
sprichst du jetzt von a=-1 oder von z=-1?
setzt du jetz
> in die 4. Gl. ein. Damit auch diese erfuellt ist kriegst du
> ne Bedingung fuer a. Fertig! So einfach!
Also hier warst du etwas zu schnell für mich, entschuldige bitte!
> Gruss nach Italien leduart
Grüße nach Deutschland Zuggel
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> Also für a=-1 haben wir doch unendlich viele Lösungen
nein, das ist falsch:
mit a= -1 und mittels y=x (4.Gleichung) wird
aus der ersten Gleichung:
(-2)*x+2*x=-1 also 0=-1
es gibt also in diesem Fall keine Lösung
Mein Lösungsweg wäre:
Zuerst die vierte Gleichung benützen, welche sagt: y=x
Für die verbleibenden Unbekannten x und z bleibt das System:
(1) (a+1)*x=-1
(2) 2*(a+1)*x = z+3
(3) (a-5)*x=z+1
Aus (1) und (2) kann man schliessen, dass z+3=-2, also z=-5.
Die Gleichungen (1) und (3) kann man ausmultipliziert
notieren:
(1) a*x+x=-1
(3) a*x-5*x=-4 (Wert -5 für z eingesetzt)
Die Differenz dieser Gleichungen liefert:
6*x=3 , also [mm] x=\bruch{1}{2}
[/mm]
Schliesslich muss (nach der ursprünglichen 4. Gleichung) y=x
sein, also [mm] y=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Zuguterletzt müssen wir noch a bestimmen: a= [mm] \bruch{-1}{x}-1= [/mm] -3 .
Gruß al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo Chwarizmi!
Danke für deine Lösung, ich bekomme das Selbe heraus. Nun bleibt mir aber die Frage: Wir haben jetzt das a für welches ich jetzt bestimmt weiß, dass es eine Lösung gibt, und ein a=-1 von welchem ich bestimmt weiß, dass es keine Lösung ergibt. Wie kann ich jetzt ausschließen, dass es für andere Werte bestimmt keine Lösung gibt?
Anders gesagt, ein Großteil der Aufgaben bei welchen ein LGS war mit einem frei wählbaren Parameter musste ich feststellen, für welchen Parameter es: Eine Lösung, keine Lösung und unendlich viele Lösungen gibt.
Ich vermute, dass man bei einem überbestimmten LGS nicht so leicht auf unendlich viele Lösungen kommt ( dann müssten ja 3 Zeilen linear voneinander abhängig sein, oder? 2 würden ja nicht reichen...).
Nun, kann ich jetzt einfach so ausschließen, dass es für alle a not=-3 keine Lösung gibt, oder muss ich das noch überprüfen?
Danke
lg
Zuggel
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> Hallo Chwarizmi!
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> Danke für deine Lösung, ich bekomme das Selbe heraus. Nun
> bleibt mir aber die Frage: Wir haben jetzt das a für
> welches ich jetzt bestimmt weiß, dass es eine Lösung gibt,
> und ein a=-1 von welchem ich bestimmt weiß, dass es keine
> Lösung ergibt. Wie kann ich jetzt ausschließen, dass es für
> andere Werte bestimmt keine Lösung gibt?
>
> Anders gesagt, ein Großteil der Aufgaben bei welchen ein
> LGS war mit einem frei wählbaren Parameter musste ich
> feststellen, für welchen Parameter es: Eine Lösung, keine
> Lösung und unendlich viele Lösungen gibt.
> Ich vermute, dass man bei einem überbestimmten LGS nicht
> so leicht auf unendlich viele Lösungen kommt ( dann müssten
> ja 3 Zeilen linear voneinander abhängig sein, oder? 2
> würden ja nicht reichen...).
> Nun, kann ich jetzt einfach so ausschließen, dass es für
> alle a not=-3 keine Lösung gibt, oder muss ich das noch
> überprüfen?
hallo Zuggel
Das vorgelegte Beispiel ist ziemlich speziell. Wenn man a
auch als Unbekannte betrachtet, hat man ja eigentlich
ein System mit den 4 Unbekannten a,x,y,z. Dieses ist
allerdings nicht mehr linear, da z.B. Produkte wie a*x
auftreten. Dass dieses System genau eine Lösung
(-3,1/2,1/2,-5) hat, war nicht von vornherein zu erwarten.
Die Rechnung hat aber gezeigt, dass man hier zwangsläufig
auf a=-3 kommt. D.h. es macht keinen Sinn, jetzt doch
noch nach anderen möglichen a-Werten zu suchen.
Generelle Schlüsse über andere "überbestimmte" Systeme
kann man aus diesem Einzelbeispiel sicher nicht ziehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
Alles klar, Dankeschön für deine Hilfe =)
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> Gegeben ist folgendes LGS:
>
> (a-1)*x+2*y=-1
> -3*x+(2*a+5)y-z=3
> (2*a-5)*x-a*y-z=1
> y-x=0
Hallo Zuggel,
man kann dieses System recht leicht "von Hand"
in wenigen Zeilen auflösen, ohne Gauß etc.
Nach meiner Rechnung gibt es nur eine einzige
Lösung, und zwar nicht diejenige (aus dem Lösungs-
heft), die du angegeben hast.
Auch a muss einen ganz bestimmten Wert haben
(und zwar nicht -9), damit das System lösbar ist.
ciao !
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