L2-Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hallo zusammen, kann mir jemand folgenden Sachverhalt begründen?
Sei [mm](\Phi_n )_{n \in \mathbb{N}}[/mm] eine Folge von Funktionen, die in der [mm] $L^1$-Norm [/mm] gegen eine Funktion $f$ konvergieren. Weiterhin seien [mm] $\Phi_n$ [/mm] und $f$ beschränkt.
Warum folgt hieraus die [mm] $L^2$-Konvergenz?
[/mm]
Danke schonmal im Voraus an euch... |
|
|
| |
|
Hallo!
Wenn [mm] $f_n, f:D\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f_n \to [/mm] f$ in $L1$, gilt:
[mm] $\int_{D}|f_n(x) [/mm] - f(x)| dx [mm] \to [/mm] 0$
Damit:
[mm] $\int_{D}|f_n(x) [/mm] - [mm] f(x)|^2 [/mm] dx [mm] \le \int_{D}|f_n(x) [/mm] - f(x)|*C dx = [mm] C*\int_{D}|f_n(x) [/mm] - f(x)| dx [mm] \to [/mm] C*0 = 0$.
Die Abschätzung geht wegen der Beschränktheit von [mm] $f_n$ [/mm] und $f$.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hi,
danke für die Antwort. War wesentlich einfacher als ich dachte. :-D
Manchmal ist man auch wie verbohrt.
VG
|
|
|
|
