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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 12.11.2005 | | Autor: | brain86 |
Hallo. ich hab ne kurze Frage zu [mm] L^1 [/mm] und [mm] L^2.
[/mm]
Weiß jemd ob folgendes gilt?
[mm] L^1(-1,1) \subseteq L^2(-1,1)
[/mm]
oder gilt es nicht? bin mir nicht sicher aber ich glaube das gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, es gilt wegen der Hölder-Ungleichung genau die andere Inklusion:
[mm] $\int\limits_{-1}^1 |f(x)|\, [/mm] dx [mm] \le \sqrt{2} \cdot \left( \int\limits_{-1}^1 |f(x)|^2\, dx \right)^{\frac{1}{2}}$.
[/mm]
Deine Inklusion ist falsch; betrachte etwa die Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{x+1}}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Sa 12.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Nein, es gilt wegen der Hölder-Ungleichung genau die andere
> Inklusion:
Dem Nein kann ich mich anschließen - der Begründung nicht. Es geht hier nämlich ganz besonders die Endlichkeit des Maßes auf [-1,1] ein. Für unendliche Maße betrachte zB [m]\chi_{[1,\infty)}(x)\bruch{1}{x}[/m] auf [m]\IR[/m].
> [mm]\int\limits_{-1}^1 |f(x)|\, dx \le \sqrt{2} \cdot \left( \int\limits_{-1}^1 |f(x)|^2\, dx \right)^{\frac{1}{2}}[/mm].
Die Hölder-Ungleichung hat doch [m]||f^x||\le||f||_2||f||_2[/m] zur Folge - und [m]|f|<|f|^2[/m] gilt eben nicht - und hier braucht man die Endlichkiet des Maßes, denn die Gleichung ist jan ur bei werten kleiner 1 verletzt, also kann man das durch eine Integrierbare funktion beschwichtigen.
Die Gleichung, die da steht erschließt sich mit wirklich nicht - vor allem wie man von der Hölder-Gleichung auf sie kommt. Vielleicht machst du ja etwas implizites - ich seh das jedenfalls nicht.
> Deine Inklusion ist falsch; betrachte etwa die Funktion
> [mm]f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}[/mm].
Das Standardgegenbeispiel 
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ecki!
Ich verstehe deinen Einwand überhaupt nicht.
Ich wende halt die Hölder-Ungleichung auf $|f|=|f| [mm] \cdot [/mm] 1$ an, und natürlich verwende ich da die Endlichkeit des Maßes (schließlich ist das Maß ja gerade $2$).
Also, es ist auf jeden Fall richtig, was ich mache und auch alle Begründungen von mir...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 So 13.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich wende halt die Hölder-Ungleichung auf [mm]|f|=|f| \cdot 1[/mm]
Aha, darauf -wendest du sie an ... dann ist es klar.
> an, und natürlich verwende ich da die Endlichkeit des Maßes
> (schließlich ist das Maß ja gerade [mm]2[/mm]).
Daher die [m]\sqrt{2\[/m]. Ich sag ja - implizit. 
SEcki
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