L-Integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:23 So 27.06.2010 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | Sie [mm] f:\IR^n \to \IR [/mm] L-integrierbar. Sei [mm] g:\IR^n \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] g(x):=ln(1+|f(x)|).
Ist die Funktion g L-meßbar, ist g L-integrierbar? |
Also, ich habe eine ganze Menge von Funktionen diesbezüglich zu untersuchen, aber ich dachte, ich frage erst mal nur nach einer.
Also zur L-Meßbarkeit, würde ich sagen, daß ja. |f| ist sogar L-integrierbar und die konstante Funktion ist auch meßbar, also ist auch 1+|f| meßbar. Also gibt es eine Treppenfunktion [mm] h_k, [/mm] k [mm] \in \IN, [/mm] so daß gilt [mm] lim_{k \to \infty} h_k [/mm] = 1+|f|. Also gibt auch [mm] lim_{k \to \infty} ln(h_k) [/mm] = ln(1+|f|), also ist g meßbar.
Also Frage 1: Stimmt das?
Nun zur L-Integrierbarkeit von g. Da meine ich ja irgendwie, daß die Antwort auch ja lautet, aber Versuche, das zu begründen, gehen irgendwie ins Leere. Also Frage 2: Könnte mir da jemand einen Tipp geben?
Danke schonmal...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 01.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
1+|f| ist meßbar, ln ist stetig, somit ist g meßbar (die Verkettung meßbarer Funktionen ist meßbar)
Füt t [mm] \ge [/mm] 0 gilt:
ln(1+t) [mm] \le [/mm] t,
also ist |g|=g = ln(1+|f|) [mm] \le [/mm] |f|, somit:
[mm] \integral_{}^{}{|g| dx}= \integral_{}^{}{g dx} \le \integral_{}^{}{|f| dx} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
g ist also integrierbar.
FRED
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