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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mi 02.01.2013 | | Autor: | colden |
| Aufgabe | Wenn
[m] \bruch{dy}{dx}=\bruch{dy}{du} \bruch{du}{dx} [/m]
Was ist dann:
[m] \bruch{d^{2}y}{dx^{2} } [/m] |
Hab hier mal wieder ne kleine Lücke in meinem Grundwissen entdeckt...
Wär dankbar wenn mir da jemand eben auf die Sprünge helfen könnte.
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Hallo colden,
in welchem Kontext taucht diese Frage denn auf?
> Wenn
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{dy}{du} \bruch{du}{dx}[/mm]
>
> Was ist dann:
>
> [mm]\bruch{d^{2}y}{dx^{2} }[/mm]
Das ist natürlich gleich p. 
> Hab hier mal wieder ne kleine
> Lücke in meinem Grundwissen entdeckt...
Keine Angst. So einfach ist es gar nicht.
> Wär dankbar wenn mir da jemand eben auf die Sprünge
> helfen könnte.
Also ernstgemeint: geht es um Substitution?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn
>
> [m]\bruch{dy}{dx}=\bruch{dy}{du} \bruch{du}{dx}[/m]
da steht doch nur die Kettenregel in der Notation ![[]](/images/popup.gif) des geehrten Herrn Leibniz.
(So ein bisschen unschön ist das: Es ist [mm] $y=y(x)=\tilde{y}(u(x))=(\tilde{y} \circ [/mm] u)(x)$ eigentlich
gemeint, denn [mm] $y\,$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}$ [/mm] sind ja verschiedene Funktionen. Und
dennoch "funktioniert" diese Schreibweise...)
> Was ist dann:
>
> [m]\bruch{d^{2}y}{dx^{2} }[/m]
Das ist nur eine Notation des obengenannten Herrn für die zweite
Ableitung einer Funktion [mm] $y=y(x)\,$ [/mm] nach der Variablen [mm] $x\,.$
[/mm]
Also: Für [mm] $y=y(x):=x^3$ [/mm] wäre [mm] $d^2y/dx^2=\frac{d}{dx}(3x^2)=6x\,.$
[/mm]
Und das sind eigentlich (meist) zwei voneinander unabhängige Dinge.
Denn was hat die Kettenregel: $(f [mm] \circ g)\,'(x)=(f\,' \circ g)(x)*g\,'(x)=f\,'(g(x))*g\,'(x)$ [/mm] (eigentlich
müßte da nur $(f [mm] \circ g)\,'=(f\,' \circ g)*g\,'$ [/mm] stehen - ich habe also in
Wahrheit die Auswertung der Ableitung von $f [mm] \circ [/mm] g$ an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] hingeschrieben!)
i.a. mit der zweiten Ableitung [mm] $f\,''(x)=(f\,')\,'(x)$ [/mm] zu tun?
P.S.
Oder willst Du [mm] $d^2y/dx^2$ [/mm] berechnen, indem Du da die Kettenregel mit
einbringst (das wäre dann also die gleiche Frage, die reverend gestellt
hat; ich hab' gerade erst verstanden, was er da am Ende eigentlich
meinte...)
Ohne Leibniznotation kannst Du Dir das ja schonmal herleiten:
Was kommt wohl (ich erspare mir, alle Voraussetzungen zu nennen)
rechnerisch raus, wenn Du
$$(f [mm] \circ g)\,'\,'(x)$$
[/mm]
berechnest?
Und in der Notation des Herrn Leibniz:
[mm] $$\frac{d^2 y}{dx^2}=\underbrace{\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\text{ Zur Notation: das }d/dx \text{ ''wird angewendet auf '' }dy/dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}\right)$$
[/mm]
Ganz rechts leitet man nun ein Produkt ab [mm] ($\to$ [/mm] Produktregel), und
danach kann man ja vielleicht nochmal die Verkettung irgendwo ins Spiel
bringen:
Es gilt ja
[mm] $$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{du}\right)=\underbrace{\frac{d}{d\red{u}}\left(\frac{dy}{du}\right)}_{=d^2y/du^2}*\frac{d\red{u}}{dx}\,,$$
[/mm]
was helfen sollte...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Do 03.01.2013 | | Autor: | colden |
Danke Leute der Groschen ist gefallen. Der Kontext war übrigens folgender:
[m] \psi (x) \to \psi (u) [/m]
[m] u=\gamma x [/m]
[m] \bruch{d\psi (u)}{dx}=\bruch{d\psi(u)}{du} \gamma [/m]
[m] \bruch{d^{2}\psi (u)}{dx^{2}}=\bruch{d^{2}\psi(u)}{du^{2}} \gamma^{2} [/m]
Bei der zweiten Ableitung kam ich auf
[m]\bruch{d^{2}\psi (u)}{dx^{2}}=\bruch{d^{2}\psi(u)}{dxdu}\bruch{du}{dx}+0[/m]
Ich dachte das sei falsch, aber mit
[m]\bruch{d^{2}\psi(u)}{dxdu}=\bruch{d}{du}\bruch{d\psi(u)}{du}\bruch{du}{dx}[/m]
Komme ich jetzt doch aufs richtige Ergbnis
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