Kurze exakte Folge spaltet < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien m, n [mm] \ge [/mm] 1 teilerfremd und (*) 0 [mm] \to \IZ/n\IZ \to [/mm] A [mm] \to \IZ/m\IZ \to [/mm] 0 eine kurze exakte Folge abelscher Gruppen. Zeigen Sie, dass (*) spaltend ist. |
Hallo Leute,
habe diese Aufgabe im Internet gefunden und jetzt würde es mich interessieren, wie man hier vorgeht.
Hab versucht, die Exaktheit zu benutzen, aber leider sehe ich nicht, wie mir das hier helfen könnte. Ebenso sehe ich noch überhaupt nicht, wie eingehen soll, dass m und n teilerfremd sind.
Anders gesagt, ich hab leider noch keine konkrete Idee.
Wäre nett, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen würde.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mo 09.07.2012 | | Autor: | hippias |
Wenn spaltend bedeutet,dass [mm] $A\cong \IZ/n\IZ\times \IZ/m\IZ$ [/mm] gilt, dann ist der Satz von Schur-Zassenhaus hier nuetzlich. Wobei dies aber im Fall abelscher Gruppen ein ziemlich schweres Geschuetz ist, aber vielleicht bringt er Dich trotzdem auf die richtige Spur.
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Hallo hippias,
danke für deine schnelle Antwort!
kannte den Satz von Schur-Zassenhaus bisher noch nicht und hab ihn deshalb erst einmal nachschlagen müssen. Sieht auf jeden Fall so aus, als lässt sich damit was anfangen in Bezug auf die Aufgabe.
Falls jemand noch eine andere Möglichkeit einfallen würde, dann immer raus damit.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mo 09.07.2012 | | Autor: | hippias |
Wie gesagt: Dieser Satz ist hier eigentlich unnoetig. Entscheidend ist, dass Kern und Bild teilerfremde Ordnung haben. Betrachte in $A$ die Menge der Elemente, deren Ordnung $n$ teilt und die Menge der Elemente, deren Ordnung $m$ teilt. Mache Dir klar, dass diese Mengen Untergruppen sind und eine direktes Produkt von $A$ bilden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 09.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien m, n [mm]\ge[/mm] 1 teilerfremd und (*) 0 [mm]\to \IZ/n\IZ \to[/mm] A
> [mm]\to \IZ/m\IZ \to[/mm] 0 eine kurze exakte Folge abelscher
> Gruppen. Zeigen Sie, dass (*) spaltend ist.
> Hallo Leute,
>
> habe diese Aufgabe im Internet gefunden und jetzt würde es
> mich interessieren, wie man hier vorgeht.
>
> Hab versucht, die Exaktheit zu benutzen, aber leider sehe
> ich nicht, wie mir das hier helfen könnte. Ebenso sehe ich
> noch überhaupt nicht, wie eingehen soll, dass m und n
> teilerfremd sind.
>
> Anders gesagt, ich hab leider noch keine konkrete Idee.
>
> Wäre nett, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen
> würde.
Ich wuerde das mit den Sylow-Saetzen erledigen:
Offensichtlich ist $A$ endlich. Seien [mm] $p_1, \dots, p_k$ [/mm] die verschiedenen Primteiler von $|A|$. Sei [mm] $A_i$ [/mm] die [mm] $p_i$-Sylow-Untergruppe [/mm] von $A$ (da $A$ abelsch ist gibt es genau eine davon). Man kann dann schnell zeigen, dass die Abbildung [mm] $A_1 \times \dots \times A_k \to [/mm] A$, [mm] $(a_1, \dots, a_k) \mapsto a_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_k$ [/mm] ein Gruppenisomorphismus ist (Homomorphismus ist einfach, injektiv schwieriger, surjektiv folgt dann sofort da die Mengen endlich und gleiche Kardinalitaet haben; zur Injektivitaet: hier braucht man, dass die Ordnungen der [mm] $a_i$ [/mm] teilerfremd sind).
Seien jetzt [mm] $p_1, \dots, p_j$ [/mm] die Primteiler von $n$ und [mm] $p_{j+1}, \dots, p_k$ [/mm] die Primteiler von $m$. Es muss dann [mm] $|A_1 \times \dots \times A_j| [/mm] = n$ und [mm] $|A_{j+1} \times \dots \times A_k| [/mm] = m$ sein, und aus der exakten Sequenz folgt sofort, dass [mm] $A_1 \times \dots \times A_j$ [/mm] das Bild des ersten Homomorphismus, also der Kern des zweiten Homomorphismus ist. Weiterhin muss die Komposition [mm] $A_{j+1} \times \dots \times A_k \to [/mm] A [mm] \to \IZ/m\IZ$ [/mm] bijektiv sein (Kardinalitaet), womit du sofort hinbekommst, dass das ganze spaltet.
Apropos: [mm] $A_1 \times \dots \times A_j$ [/mm] sind genau die Elemente in $A$, die durch Multiplikation durch $n$ auf 0 geschickt werden. Und [mm] $A_{j+1} \times \dots \times A_k$ [/mm] sind genau die Elemente in $A$, die durch Multiplikation durch $m$ auf 0 geschickt werden.
LG Felix
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Hallo hippias und felix,
vielen Dank für die alternativen Vorschläge, hab sie mir durchgelesen und zumindest schon mal grob nachvollziehen können. Werde Morgen das ganze mal im Detail nachvollziehen und ausformulieren.
Viele Grüße und eine gute Nacht!
Anfänger
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