Kurze Verständnisfrage < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Do 20.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien [mm] l^2(A) [/mm] und [mm] l^2(\hat{A}) [/mm] zwei Hilberträume.
Zudem sollen die Skalarprodukte der beiden Hilberträume übereinstimmen, d.h. [mm] \langle f,g\rangle=\langle \hat{f},\hat{g}\rangle [/mm] für [mm] f,g\in{l^2(A)} [/mm] und [mm] \hat{f},\hat{g}\in{l^2(\hat{A})}.
[/mm]
Kann ich dann daraus sofort folgern, dass die beiden Hilberträume isomorph sind? Und wenn ja warum?? |
Tag Leute,
mich treibt im Moment obige Frage um und es wär toll, wenn mir die jemand kurz bestätigen bzw. widerlegen könnte.
Eine Erklärung warum das gilt bzw. nicht gilt, wär natürlich auch noch schön :).
Vielen Dank schon mal!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 Fr 21.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]l^2(A)[/mm] und [mm]l^2(\hat{A})[/mm] zwei Hilberträume.
> Zudem sollen die Skalarprodukte der beiden Hilberträume
> übereinstimmen, d.h. [mm]\langle f,g\rangle=\langle \hat{f},\hat{g}\rangle[/mm]
> für [mm]f,g\in{l^2(A)}[/mm] und [mm]\hat{f},\hat{g}\in{l^2(\hat{A})}.[/mm]
>
> Kann ich dann daraus sofort folgern, dass die beiden
> Hilberträume isomorph sind? Und wenn ja warum??
> Tag Leute,
> mich treibt im Moment obige Frage um und es wär toll,
> wenn mir die jemand kurz bestätigen bzw. widerlegen
> könnte.
> Eine Erklärung warum das gilt bzw. nicht gilt, wär
> natürlich auch noch schön :).
Noch schöner wäre es, wenn Du verraten würdest, wie die Mengen $A$ und [mm] \hat{A} [/mm] zusammenhängen, denn ohne diese Information ist der Satz
"Zudem sollen die Skalarprodukte der beiden Hilberträume übereinstimmen, d.h. [mm]\langle f,g\rangle=\langle \hat{f},\hat{g}\rangle[/mm] für [mm]f,g\in{l^2(A)}[/mm] und [mm]\hat{f},\hat{g}\in{l^2(\hat{A})}.[/mm]"
völlig sinnlos ! Es muß einen Zusammenhang zwischen $A$ und [mm] \hat{A} [/mm] geben,
Wie hängen $f$ und [mm] \hat{f} [/mm] zusammen ????
FRED
>
> Vielen Dank schon mal!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Fr 21.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
D.h. heißt also allein aus der Information, dass das Skalarprodukt zweier Hilberträume übereinstimmt kann ich keine Schlussfolgerung ziehen??
Okay gut also in dem Fall muss ich wohl noch ein paar zusätzliche Informationen liefern.
Sei A eine endliche abelsche Gruppe und [mm] \hat{A} [/mm] die zugehörige Dualgruppe, d.h. die Menge aller Charaktere von A zusammen mit einer geeigneten Multiplikation.
Desweiteren ist [mm] \hat{f}:\hat{A}\rightarrow{\IC} [/mm] die Fourier-Transformation von [mm] f\in{l^2(A)}, [/mm] wobei der Hilbertraum [mm] l^2(A) [/mm] mit dem Raum [mm] \IC^{A} [/mm] übereinstimmt.
Ist nun aus der Gleichheit der Skalarprodukte eine sinnvolle Folgerung möglich?? Herzlichen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Fr 21.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> D.h. heißt also allein aus der Information, dass das
> Skalarprodukt zweier Hilberträume übereinstimmt kann ich
> keine Schlussfolgerung ziehen??
Nein. Was soll den das heißen
"dass das Skalarprodukt zweier Hilberträume übereinstimmt" ???
Lies mal genau, dann merkst Du vielleicht, dass es sinnlos ist.
>
> Okay gut also in dem Fall muss ich wohl noch ein paar
> zusätzliche Informationen liefern.
Glückwunsch !
>
> Sei A eine endliche abelsche Gruppe und [mm]\hat{A}[/mm] die
> zugehörige Dualgruppe, d.h. die Menge aller Charaktere von
> A zusammen mit einer geeigneten Multiplikation.
> Desweiteren ist [mm]\hat{f}:\hat{A}\rightarrow{\IC}[/mm] die
> Fourier-Transformation von [mm]f\in{l^2(A)},[/mm] wobei der
> Hilbertraum [mm]l^2(A)[/mm] mit dem Raum [mm]\IC^{A}[/mm] übereinstimmt.
>
> Ist nun aus der Gleichheit der Skalarprodukte eine
> sinnvolle Folgerung möglich??
Ja, jetzt wissen wir nämlich wie f und [mm] \hat{f} [/mm] zusammenhängen.
Wie wärs mit folgendem Isomorphismus [mm] $\Phi [/mm] : [mm] l^2(A) \to l^2(\hat{A})$
[/mm]
[mm] $\Phi(f):= \hat{f}$
[/mm]
FRED
> Herzlichen Dank schon mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Fr 21.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay vielen Dank ers mal!
So ganz verstehen tu ichs aber noch nicht. Woher weiß ich denn, dass es sich bei dieser Abbildung um einen Isomorphismus handelt bzw. wieso reicht es aus die Gleichheit der Skalarprodukte, wie zuvor angegeben, zu zeigen, um zu folgern, dass [mm] l^2(A)\cong{l^2(\hat{A})} [/mm] ist??
Schon mal Danke für die Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Fr 21.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay vielen Dank ers mal!
> So ganz verstehen tu ichs aber noch nicht. Woher weiß ich
> denn, dass es sich bei dieser Abbildung um einen
> Isomorphismus handelt bzw. wieso reicht es aus die
> Gleichheit der Skalarprodukte, wie zuvor angegeben, zu
> zeigen, um zu folgern, dass [mm]l^2(A)\cong{l^2(\hat{A})}[/mm]
> ist??
1. [mm] \Phi [/mm] ist linear. Das dürfte klar sein.
2. [mm] $||\Phi(f)||^2 [/mm] = [mm] <\Phi(f),\Phi(f)>= <\hat{f},\hat{f}> [/mm] = <f,f> = [mm] ||f||^2$
[/mm]
[mm] \Phi [/mm] ist also eine Isometrie. Damit ist insbesondere [mm] Kern(\Phi) [/mm] = {0} und somit [mm] \Phi [/mm] injektiv.
3. Zur surjektivität bemühe die inverse Fourirtransformation
FRED
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> Schon mal Danke für die Antwort.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:12 Fr 21.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ah okay jetzt wird die Sache allmählicher klarer.
Noch zwei Fragen dazu:
1. Woher weiß ich, dass ich hierbei die Verknüpfung "+" habe und nicht sonst irgendwas?
2. Was versteht man unter der inversen Fourier-Transformation?
Und kann ich mir die Injektivität nicht sparen, wenn ich mit der Inversen arbeite, d.h. ich krieg doch dann nicht nur die Surjektivität, sondern gleich Bijektivität oder wie ist das??
Danke schon mal!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Fr 21.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Die erste Frage hat sich erledigt, denn wir operieren hier ja auf einem Hilbertraum, also insbesondere auf einem Vektorraum!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Fr 21.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Die zweite Frage würd ich aber schon gern noch wissen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 23.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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