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Kurze Aufgabe Funktionentheori: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:39 Mi 23.09.2009
Autor: Denny22

Aufgabe
Sei [mm] $\zeta_0\in\IC$ [/mm] mit [mm] $|\zeta_0|=1$. $U\subset\IC$ [/mm] sei eine Umgebung von [mm] $\zeta_0$. [/mm] Weiter gelte:
     (1): [mm] $f:U\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph in $U$
     (2): [mm] $f(\zeta_0)=0$ [/mm]
     (3): Re [mm] $f(\zeta)\geqslant [/mm] 0$   [mm] $\forall\,|\zeta|>1$ [/mm]
Zeige
     [mm] $f'(\zeta_0)\neq [/mm] 0$

Hallo an alle,

irgendwie komme ich bei der obigen Aufgabe nicht vorwaerts. Folgender Hinweis wurde mir gegeben:

Hinweis: Angenommen [mm] $f'(\zeta_0)=0$, [/mm] dann gilt
     [mm] $f(\zeta)=(\zeta-\zeta_0)^p\cdot g(\zeta)$ [/mm]
fuer [mm] $p\geqslant [/mm] 2$ und [mm] $g(\zeta_0)\neq [/mm] 0$. Setze nun
     [mm] $\zeta=\zeta_0\cdot(1+\varepsilon e^{i\varphi})$ [/mm]
ein.

Irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Es waere schoen, wenn ihr mir weiterhelfen koenntet.

Danke und Gruss

        
Bezug
Kurze Aufgabe Funktionentheori: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Mi 23.09.2009
Autor: fred97

Da stimmt was nicht !

Sei U = [mm] \IC [/mm] , [mm] \zeta_0=1 [/mm] und f die Funktion konstant = 0.

Dann sind die Vor. (1), (2) und (3) erfüllt.

Hast Du irgend etwas vergessen ?


FRED

Bezug
        
Bezug
Kurze Aufgabe Funktionentheori: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:14 Mi 23.09.2009
Autor: Denny22


> Sei [mm]\zeta_0\in\IC[/mm] mit [mm]|\zeta_0|=1[/mm]. [mm]U\subset\IC[/mm] sei eine
> Umgebung von [mm]\zeta_0[/mm]. Weiter gelte:
>       (1): [mm]f:U\rightarrow\IC[/mm] holomorph in [mm]U[/mm]
>       (2): [mm]f(\zeta_0)=0[/mm]
>       (3): Re [mm]f(\zeta)\geqslant 0[/mm]   [mm]\forall\,|\zeta|>1[/mm]
>  Zeige
>       [mm]f'(\zeta_0)\neq 0[/mm]
>  Hallo an alle,
>  
> irgendwie komme ich bei der obigen Aufgabe nicht vorwaerts.
> Folgender Hinweis wurde mir gegeben:
>  
> Hinweis: Angenommen [mm]f'(\zeta_0)=0[/mm], dann gilt
>       [mm]f(\zeta)=(\zeta-\zeta_0)^p\cdot g(\zeta)[/mm]
>  fuer
> [mm]p\geqslant 2[/mm] und [mm]g(\zeta_0)\neq 0[/mm]. Setze nun
>       [mm]\zeta=\zeta_0\cdot(1+\varepsilon e^{i\varphi})[/mm]
>  ein.
>  
> Irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter. Es waere
> schoen, wenn ihr mir weiterhelfen koenntet.
>  
> Danke und Gruss

Hallo nochmal,

in (3) muss ein streng groesser stehen, d.h.
     (3): Re [mm]f(\zeta)>0[/mm]   [mm]\forall\,|\zeta|>1[/mm]
Hat nun jemand eine Idee?

Danke und Gruss

Bezug
                
Bezug
Kurze Aufgabe Funktionentheori: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 26.09.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Kurze Aufgabe Funktionentheori: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Mo 28.09.2009
Autor: fred97

Manchmal müüsen Dinge etwas gären ..

Wir können [mm] \zeta_0 [/mm] = 1 annehmen (Drehung !) , das erleichtert die Schreibarbeit

Es gibt also ein $p [mm] \in \IN [/mm] $ und eine auf U holomorphe Funktion g mit:

                 $f(z) = (z-1)^pg(z)$ für z [mm] \in [/mm] U und $g(1) [mm] \not= [/mm] 0$

Für r [mm] \ge [/mm] 0 und t [mm] \in \IR [/mm] sei

                       $z(r,t) := [mm] 1+re^{it}$ [/mm]

Dann gibt es ei R>0 mit

                        $z(r,t) [mm] \in [/mm] U$ für r [mm] \in [/mm] [0,R) und t [mm] \in I:=[\bruch{- \pi}{2}, \bruch{\pi}{2}] [/mm]

und

                          $|z(r,t)|>1$ für r [mm] \in [/mm] (0,R) und t [mm] \in [/mm] I.

Es ist

                     $f(z(r,t)) = [mm] r^p(cos(pt)+i [/mm] sin(pt)) (Re(g(z(r,t)) +i Im(g(z(r,t)))$


Aus de Vor. Re $ [mm] f(\zeta)> [/mm] 0 $   $ [mm] \forall\,|\zeta|>1 [/mm] $ folgt:

          (*)   $cos(pt)*Re(g(z(r,t)) > sin(pt)*Im(g(z(r,t))$  für r [mm] \in [/mm] (0,R) und t [mm] \in [/mm] I.

Lässt man in (*) r gegen 0 gehen, so ergibt sich:

             (**)  $cos(pt)*Re(g(1)) [mm] \ge [/mm] sin(pt)*Im(g(1))$  für t [mm] \in [/mm] I.

Wählt man in (**)  $t = [mm] \bruch{\pi}{2p}$, [/mm] so erhält man $Im(g(1)) [mm] \le [/mm] 0$

Wählt man in (**)  $t = [mm] \bruch{- \pi}{2p}$, [/mm] so erhält man $Im(g(1)) [mm] \ge [/mm] 0$

Also: $Im(g(1)) = 0$

Wählt man in (**)  $t = 0$, so erhält man $Re(g(1)) [mm] \ge [/mm] 0$

Wäre nun $p [mm] \ge [/mm] 2$, so wäre [mm] $t_0:= \bruch{\pi}{p} \in [/mm] I$, und aus (**) würde, mit [mm] t_0, [/mm]  folgen:

                      $Re(g(1)) [mm] \le [/mm] 0$.

Die liefert den Widerspruch $g(1) = 0$


FRED






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Kurze Aufgabe Funktionentheori: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Mo 28.09.2009
Autor: Denny22

Super,

vielen Dank Fred. Ich habe es ueberprueft und es scheint mir sehr einleuchtend und richtig zu sein.

Vielen Dank und Gruss
Denny

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Bezug
Kurze Aufgabe Funktionentheori: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Mo 28.09.2009
Autor: fred97

Hallo Denny,

der Beweis zeigt, dass man nur Re $ [mm] f(\zeta)\geqslant [/mm] 0 $   $ [mm] \forall\,|\zeta|>1 [/mm] $ voraussetzen muß, wenn man noch fordert, dass f nicht konstant ist.

FRED

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