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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Do 22.05.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion:
[mm] f_{t}(x) [/mm] = [mm] \bruch{4x^3 +tx -t^3}{x} [/mm] mit t [mm] \in [/mm] R
Untersuchen Sie die Funktion.
(u.a.)
I. Nullstellen
II. Welche der Funktionen hat den kleinsten Extremwert? An welcher Stelle wird er angenommen?
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Moin,
Bei der Funktionsuntersuchung bin ich an den beiden o.g. Aufgabenteilen hängen geblieben.
I. Wie ermittle ich die Nullstellen???
0 = [mm] 4x^3 [/mm] + tx [mm] -t^3 [/mm]
Aber wie jetzt weiter? Bin ich jetzt gerade blockiert, oder gibt es keine (einfache) Lösung???
1. Ausklammern geht nicht.
2. Substituieren auch nicht.
3. Nullstelle raten und dann Polynomdivision. Ok, aber welche Nullstelle kann ich hier ggf. "einfach" raten???
II. lokale Extremwerte...
[mm] f_{t} [/mm] ' (x) = 0 => [mm] x_{E} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2}*t
[/mm]
Es handelt sich um ein lokales Minimum.
Dazu den Funktionswert berechnen:
[mm] f_{t} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{2}*t [/mm] ) = 3 + [mm] \bruch{4}{t}
[/mm]
Für t <0 und t gegen 0 würde ich den kleinstmöglichen lokalen Extremwert erhalten, oder nicht???
Oder ist am Ende gar das globale Minimum gemeint???
Vielen Dank für eure Hilfe!
Wolfgang
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> Gegeben ist die Funktion:
>
> [mm]f_{t}(x)[/mm] = [mm]\bruch{4x^3 +tx -t^3}{x}[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [mm] \IR
[/mm]
Zur Sicherheit würde ich den Funktionsterm nochmals genau überprüfen.
> Untersuchen Sie die Funktion.
>
> (u.a.)
>
> I. Nullstellen
> II. Welche der Funktionen hat den kleinsten Extremwert? An
> welcher Stelle wird er angenommen?
>
>
> Moin,
>
> Bei der Funktionsuntersuchung bin ich an den beiden o.g.
> Aufgabenteilen hängen geblieben.
>
> I. Wie ermittle ich die Nullstellen???
>
> 0 = [mm]4x^3[/mm] + tx [mm]-t^3[/mm]
>
> Aber wie jetzt weiter? Bin ich jetzt gerade blockiert,
> oder gibt es keine (einfache) Lösung???
>
> 1. Ausklammern geht nicht.
> 2. Substituieren auch nicht.
> 3. Nullstelle raten und dann Polynomdivision. Ok, aber
> welche Nullstelle kann ich hier ggf. "einfach" raten???
Für diese kubische Gleichung muss mindestens eine reelle
Lösung existieren. Die Lösungen konkret anzugeben scheint
aber (ohne die Cardano-Formeln) zumindest schwierig zu sein.
Ich habe den Ansatz x = k t versucht, aber ohne Erfolg.
Dann habe ich versucht, die Funktionsgraphen zu skizzieren
durch folgende Zerlegung:
[mm]f_{t}(x)[/mm] = [mm]4x^2 +t -\bruch{t^3}{x}[/mm]
Die Ueberlagerung von Parabel und hyperbelartiger Kurve ist
leicht zu verstehen. Man sieht jedenfalls: die Funktion hat stets
genau ein lokales Minimum und nie ein absolutes Minimum oder
Maximum falls t [mm] \not= [/mm] 0 (wegen der Polstelle bei x=0).
> II. lokale Extremwerte...
>
> [mm]f_{t}[/mm] ' (x) = 0 => [mm]x_{E}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}*t[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
soweit einverstanden
> Es handelt sich um ein lokales Minimum.
(wie oben bemerkt!)
> Dazu den Funktionswert berechnen:
>
> [mm]f_{t}[/mm] (- [mm]\bruch{1}{2}*t[/mm] ) = 3 + [mm]\bruch{4}{t}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
da bekomme ich was ganz anderes....
> Für t <0 und t gegen 0 würde ich den kleinstmöglichen
> lokalen Extremwert erhalten, oder nicht???
das wäre aber nach deiner Rechnung kein fester kleinster Wert,
sondern so etwas wie ein Fass ohne Boden...
> Oder ist am Ende gar das globale Minimum gemeint???
(ein solches gibt es ohnehin nur für t=0)
am Ende, mit Hilfe des Ergebnisses über das lokale Minimum,
lässt sich wohl doch noch etwas mehr über die Nullstellen
sagen: 3 Nullstellen gibt es genau dann, wenn [mm] y_{Tiefpunkt} [/mm] < 0 ist
2 Nullstellen liegen vor, wenn [mm] y_{Tiefpunkt} [/mm] = 0
nur eine Nullstelle, falls [mm] y_{Tiefpunkt} [/mm] > 0
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 22.05.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> Gegeben ist die Funktion:
> [mm]f_{t}(x)[/mm] = [mm]\bruch{4x^3 +tx -t^3}{x}[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [mm]\IR[/mm]
> I. Nullstellen
> II. Welche der Funktionen hat den kleinsten Extremwert?
> An welcher Stelle wird er angenommen?
>
>
> Moin,
>
> Bei der Funktionsuntersuchung bin ich an den beiden o.g.
> Aufgabenteilen hängen geblieben.
>
> I. Wie ermittle ich die Nullstellen???
>
> 0 = [mm]4x^3[/mm] + tx [mm]-t^3[/mm]
>
> Aber wie jetzt weiter? Bin ich jetzt gerade blockiert,
> oder gibt es keine (einfache) Lösung???
>
> 1. Ausklammern geht nicht.
> 2. Substituieren auch nicht.
> 3. Nullstelle raten und dann Polynomdivision. Ok, aber
> welche Nullstelle kann ich hier ggf. "einfach" raten???
>
Für diese kubische Gleichung muss mindestens eine reelle
Lösung existieren. Die Lösungen konkret anzugeben scheint
aber (ohne die Cardano-Formeln) zumindest schwierig zu
sein.
D.h. diese Fragestellung übersteigt die "normale" Schulmathematik.
> Ich habe den Ansatz x = k t versucht, aber ohne Erfolg.
> Dann habe ich versucht, die Funktionsgraphen zu
> skizzieren
> durch folgende Zerlegung:
>
> [mm]f_{t}(x)[/mm] = [mm]4x^2 +t -\bruch{t^3}{x}[/mm]
>
> Die Ueberlagerung von Parabel und hyperbelartiger Kurve ist
> leicht zu verstehen. Man sieht jedenfalls: die Funktion hat
> stets
> genau ein lokales Minimum und nie ein absolutes Minimum
> oder
> Maximum falls t [mm]\not=[/mm] 0 (wegen der Polstelle bei x=0).
... lokales Minimum
> > Dazu den Funktionswert berechnen:
> >
> > [mm]f_{t}[/mm] (- [mm]\bruch{1}{2}*t[/mm] ) = 3 + [mm]\bruch{4}{t}[/mm]
>
> da bekomme ich was ganz anderes....
>
jetzt habe ich:
[mm] f_{t} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{2}*t) [/mm] = [mm] 3t^2 [/mm] + t
Daraus würde ich folgern, dass bei t=0 ein kleinster minimaler Wert vorliegt.
> > Oder ist am Ende gar das globale Minimum gemeint???
>
> (ein solches gibt es ohnehin nur für t=0)
relative + globales Minimum bei t=0. ...was ich hiermit auch behaupten würde!
> am Ende, mit Hilfe des Ergebnisses über das lokale
> Minimum,
> lässt sich wohl doch noch etwas mehr über die Nullstellen
> sagen: 3 Nullstellen gibt es genau dann, wenn
> [mm]y_{Tiefpunkt}[/mm] < 0 ist
Nach meiner Rechnung ist der Tiefpunkt immer größer bzw. gleich null.
> 2 Nullstellen liegen vor, wenn [mm]y_{Tiefpunkt}[/mm] = 0
> nur eine Nullstelle, falls [mm]y_{Tiefpunkt}[/mm] > 0
[mm] f_{t} [/mm] (-/bruch{1}{2}*t) = [mm] 3*t^2 [/mm] +t
= t * (3t +1) => keine "doppelte Nullstelle bei t=0 , oder doch???
Schlussfolgerung: Also gibt es nur eine einzige Nullstelle.
Gruß
Wolfgang
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> Moin,
>
> > Gegeben ist die Funktion:
>
> > [mm]f_{t}(x)[/mm] = [mm]\bruch{4x^3 +tx -t^3}{x}[/mm] mit t [mm]\in[/mm] [mm]\IR[/mm]
>
> > I. Nullstellen
> > II. Welche der Funktionen hat den kleinsten Extremwert?
> > An welcher Stelle wird er angenommen?
> >
> >
> > Moin,
> >
> > Bei der Funktionsuntersuchung bin ich an den beiden o.g.
> > Aufgabenteilen hängen geblieben.
> >
> > I. Wie ermittle ich die Nullstellen???
> >
> > 0 = [mm]4x^3[/mm] + tx [mm]-t^3[/mm]
> >
> > Aber wie jetzt weiter? Bin ich jetzt gerade blockiert,
> > oder gibt es keine (einfache) Lösung???
> >
> > 1. Ausklammern geht nicht.
> > 2. Substituieren auch nicht.
> > 3. Nullstelle raten und dann Polynomdivision. Ok, aber
> > welche Nullstelle kann ich hier ggf. "einfach" raten???
> >
> Für diese kubische Gleichung muss mindestens eine reelle
> Lösung existieren. Die Lösungen konkret anzugeben scheint
> aber (ohne die Cardano-Formeln) zumindest schwierig zu
> sein.
>
> D.h. diese Fragestellung übersteigt die "normale"
> Schulmathematik.
das würde ich nicht unbedingt sagen - vielleicht sind ja nur
Aussagen über die Existenz und Anzahl von Nullstellen gemeint
>> Funktionsgraphen skizzieren durch folgende Zerlegung:
> >
> > [mm]f_{t}(x)[/mm] = [mm]4x^2 +t -\bruch{t^3}{x}[/mm]
> >
> > Die Ueberlagerung von Parabel und hyperbelartiger Kurve ist
> > leicht zu verstehen. Man sieht jedenfalls: die Funktion hat
> > stets
> > genau ein lokales Minimum und nie ein absolutes Minimum oder
> > Maximum falls t [mm]\not=[/mm] 0 (wegen der Polstelle bei x=0).
>
> > > Dazu den Funktionswert berechnen:
> jetzt habe ich:
>
> [mm]f_{t}[/mm] (- [mm]\bruch{1}{2}*t)[/mm] = [mm]3t^2[/mm] + t
>
> Daraus würde ich folgern, dass bei t=0 ein kleinster
> minimaler Wert vorliegt.
nein!
Der Ausdruck [mm]3t^2 + t [/mm]
nimmt sein Minimum an, wenn t = - [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Das Minimum ist gleich - [mm] \bruch{1}{12}. [/mm] Dies ist
also der y-Wert des tiefsten möglichen Tiefpunkts (falls t [mm] \not= [/mm] 0).
Für t=0 ist natürlich (0/0) der Tiefpunkt der verbleibenden Parabel.
> relative + globales Minimum bei t=0. ...was ich hiermit
> auch behaupten würde!
>
> > am Ende, mit Hilfe des Ergebnisses über das lokale
> > Minimum,
> > lässt sich wohl doch noch etwas mehr über die
> Nullstellen
> > sagen: 3 Nullstellen gibt es genau dann, wenn
> > [mm]y_{Tiefpunkt}[/mm] < 0 ist
also wenn 3 [mm] t^2 [/mm] + t < 0 bzw. -1/3 < t < 0
> > 2 Nullstellen liegen vor, wenn [mm]y_{Tiefpunkt}[/mm] = 0 und t [mm] \not= [/mm] 0
d.h. wenn t = - 1/3
Im Fall t=0 gibt es nur eine Nullstelle, die man ev. "doppelt" zählen kann
> > nur eine Nullstelle, falls [mm]y_{Tiefpunkt}[/mm] > 0
>
> [mm]f_{t}[/mm] (-/bruch{1}{2}*t) = [mm]3*t^2[/mm] +t
>
> = t * (3t +1) => keine "doppelte Nullstelle bei t=0 ,
> oder doch???
>
> Schlussfolgerung: Also gibt es nur eine einzige
> Nullstelle.
nein: siehe die obigen Betrachtungen (ich habe zur Kontrolle mit
einem Animationsprogramm die verschiedenen Fälle auch angeschaut)
Gruß al-Ch.
(sorry für die etwas chaotische Darstellung)
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