Kurvenschar Tangente parallel < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 So 21.05.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | Die Kurvenschar der Funktion mit f von t (x) = x³ -3t²x
Für welchen Wert von t ist die Tangente im Schnittpunkt mit der positiven x-Achse parallel zur 1. Winkelhalbierenden ? |
Ich weiss das die 1. Winkelhalbierende die Steigung m = 1 hat .
Leider habe ich keine Ahnung wie ich vor gehen muss
meine These ist , dass ich wieder die erste Ableitung benötige und diese mit einer anderen
Funktion dieser Schar gleichgesetzt werden muss oder sollte .
Die Steigung muss ja an der besonderen stelle die Gleiche sein wie bei der Winkelhalbierenden
sonst wären die Tangenten ja nicht parallel .
ich hoffe es kann mir jemand einen Lösungsansatz geben .
Ich freue mich auf eine Antwort
grüsse
M
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Kurvenschar der Funktion mit f von t (x) = x³ -3t²x
>
> Für welchen Wert von t ist die Tangente im Schnittpunkt mit
> der positiven x-Achse parallel zur 1. Winkelhalbierenden ?
> Ich weiss das die 1. Winkelhalbierende die Steigung m = 1
> hat .
>
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich vor gehen muss
>
> meine These ist , dass ich wieder die erste Ableitung
> benötige und diese mit einer anderen
> Funktion dieser Schar gleichgesetzt werden muss oder sollte.
>
> Die Steigung muss ja an der besonderen stelle die Gleiche
> sein wie bei der Winkelhalbierenden
>
> sonst wären die Tangenten ja nicht parallel .
>
> ich hoffe es kann mir jemand einen Lösungsansatz geben .
Hast du schon die Nullstellen von [mm] f_t(x) [/mm] berechnet?
Zeig uns mal deine Ableitung von [mm] f_t(x).
[/mm]
Dann berechnest du die Steigung der Funktion in der Nullstelle, die > 0 ist; dieser Wert hängt noch von t ab.
Schließlich soll dieser Wert - wie du schon richtig geschrieben hast - =1 sein, daraus kannst du den Parameter t ermitteln.
Jetzt klar?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 So 21.05.2006 | | Autor: | zeusiii |
erste Ableitung ist
f ' (x) = 3 x ² - 3t²
Nullstellen von f ' (x)
N ( t / -2t³)
N (-t / - 4 t ³ )
Also setze ich nun die Werte in die Tangentenfunktion ?
m*x+b = y ?
m * t + b = - 2t³
oder wie ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 So 21.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo, zeusiii!
Genau, m muss 1 sein und die Ableitung brauchst du auch. Ich habe damit angefangen, erstmal zu schauen, wie die Nullstellen der Funktion in Abhängigkeit von t sind (x²=3t², bzw. [mm] x=\pm\wurzel{3}t). [/mm]
Danach habe ich geguckt, was t immer erfüllen muss, damit der Anstieg der Tangente 1 ist. Durch Gleichsetzen der Formel für die Nullstellen und der andere Formel für die Tangetensteigung mit m=1 habe ich 2 Werte für t rausgekriegt. ( [mm] \pm\wurzel{ \bruch{3}{6}})
[/mm]
Das Ergebnis habe ich nachkontrolliert und es stimmt. Nun kannst du mal gucken ob du zum selben Ergebnis kommst. Hoffe das war etwas verständlich, weil ich das 1. mal sowas erklärt hab und erst selber in dem Stoffgebiet in der Schule bin :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 So 21.05.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | | Wie setze ich das in die Gleichung ein ? |
habe jetzt versucht
die Nullstellen einzusetzen
y=mx+b
-2t³ = t + b
aber was ist nun mit dem b ? wenn ich das b ausrechne und den
Wert dafür einsetzte bekomme ich 0 raus :-(
wenn ich das habe
nehme ich die Tangentensteigung und setze sie mit
der ersten Ableitung gleich oder?
so :
3x² - 3 t² = mx+b-y
ist schon schwierig so eine Textaufgabe
Ich hoffe ich schaffe sie zu lösen
Aber danke das ich bis hier hin gekommen bin
wird der Rest wohl auch nicht so schwer sein .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 So 21.05.2006 | | Autor: | Teufel |
> Wie setze ich das in die Gleichung ein ?
> habe jetzt versucht
>
>
> die Nullstellen einzusetzen
>
> y=mx+b
>
> -2t³ = t + b
>
> aber was ist nun mit dem b ? wenn ich das b ausrechne und
> den
> Wert dafür einsetzte bekomme ich 0 raus :-(
Der Ansatz ist leider falsch, da es sich hier nicht um eine linieare Gleichung handelt.
Die Gleichung der Funktion lautet f(x)=x³-3t²x
Die Nullstellen bestimmst du, indem du diese Gleichung gleich 0 setzt
[mm] \Rightarrow [/mm] 0=x³-3t²x
Nun musst du erstma eine Fallunterscheidung vornehmen, indem du ein x ausklammerst [mm] \Rightarrow [/mm] 0=x(x²-3t²).
Ein produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Damit hast du eine Nullstelle (0), die aber nich weiter interessiert.
Also setzt du den anderen Faktor (x²-3t²) auch einfach mal 0.
Daraus erhälst du die Gleichung, aus der du die bestimmten Nullstellen ablesen kannst, wenn du ein beliebiges t einsetzt.
Dann nimmst du die Ableitungsfunktion f'(x)=3x² - 3 t², die du ja richtig aufgestellt hast und setzt für f'(x) die 1 ein.
Daraus ergibt sich dann eine Formel die irgendwie x²=irgendwas lautet. Das x² kannst du hier einfahc mal so lassen und musst nicht weiter die Wurzel ziehen. Die Nullstellengleichung, die auch auch aufstellen solltest kannst du auch umformen, sodass du x²=irgendwas rauskriegst.
Diese beiden Gleichungen kannst du dann gleichsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 21.05.2006 | | Autor: | zeusiii |
Danke für die Antwort
Ich weiss das mit es sich nicht um eine lineare Funktion handelt und das man die Nullstelen anders berchnet , doch die Nullstellen sind ja auch richtig .
Leider nicht das Problem
Habe gerechnet
f (1) = 3 * 1² - 3 t² //
0 = 3 - 3t² // + 3 t²
3t² = 3 // / 3
t² = 1 // W
t = 1
und dann ?
> > Wie setze ich das in die Gleichung ein ?
> > habe jetzt versucht
> >
> >
> > die Nullstellen einzusetzen
> >
> > y=mx+b
> >
> > -2t³ = t + b
> >
> > aber was ist nun mit dem b ? wenn ich das b ausrechne und
> > den
> > Wert dafür einsetzte bekomme ich 0 raus :-(
>
> Der Ansatz ist leider falsch, da es sich hier nicht um eine
> linieare Gleichung handelt.
> Die Gleichung der Funktion lautet f(x)=x³-3t²x
> Die Nullstellen bestimmst du, indem du diese Gleichung
> gleich 0 setzt
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0=x³-3t²x
> Nun musst du erstma eine Fallunterscheidung vornehmen,
> indem du ein x ausklammerst [mm]\Rightarrow[/mm] 0=x(x²-3t²).
> Ein produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0
> ist.
> Damit hast du eine Nullstelle (0), die aber nich weiter
> interessiert.
> Also setzt du den anderen Faktor (x²-3t²) auch einfach mal
> 0.
> Daraus erhälst du die Gleichung, aus der du die bestimmten
> Nullstellen ablesen kannst, wenn du ein beliebiges t
> einsetzt.
>
> Dann nimmst du die Ableitungsfunktion f'(x)=3x² - 3 t², die
> du ja richtig aufgestellt hast und setzt für f'(x) die 1
> ein.
> Daraus ergibt sich dann eine Formel die irgendwie
> x²=irgendwas lautet. Das x² kannst du hier einfahc mal so
> lassen und musst nicht weiter die Wurzel ziehen. Die
> Nullstellengleichung, die auch auch aufstellen solltest
> kannst du auch umformen, sodass du x²=irgendwas
> rauskriegst.
>
> Diese beiden Gleichungen kannst du dann gleichsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 So 21.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Hm nein, du musst nicht x=1 setzen sondern f'(x)=1.
Also 1=3x² -3t² [mm] \Rightarrow [/mm] 1+3t²=3x² [mm] \Rightarrow \bruch{1}{3}+t²=x²
[/mm]
Die Formel für die Nullstellen war: x²=3t²
Beide x-Werte müssen ja übereinstimmen, der Wert wo die Nullstelle ist und da wo die Steigung der Tangente 1 ist.
Dadurch müssen auch die beiden Gleichungen übereinstimmen undd urch Gleichsetzen kommst du auf [mm] \bruch{1}{3}+t²=3t². [/mm] Durch ein bisschen umstellerei kommst du auf t= [mm] \pm \bruch{1}{6}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 22.05.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | | Habe es weitergerechnet ,aber es klappt dennoch nicht ..hmmpf :-( |
Also ich nehme die 1 setze sie für f ' (x)
1 = 3 x² - 3 t²
dann die Nullstellenformel
0 = 3 x² - 3 t ²
durch um formung beide Gleichgesetzt
3 x ² - 3 t² = 3 x² - 3 t² -1 //
leider kommt bei mir da 0 = 1 raus was ja auch nicht stimmen kann
Ich bin so langsam am zweifeln ,was mach ich nur falsch :-((
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Die Nullstellenformel ist x²=3t² :) der wenn du's nochmal gleichsetzt bekommst du das gewünschte Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 22.05.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | | Was für eine Aufgabe , bekomme immer 0 = -1 raus . |
Bin am verzweifeln .
könnteste mir den Rechenweg aufschreiben? ,weiss echt nicht mehr weiter .> Die Nullstellenformel ist x²=3t² :) der wenn du's nochmal
> gleichsetzt bekommst du das gewünschte Ergebnis.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo zeusiii!
Zunächst einmal benötigen wir ja die Nullstellen der Funktion:
[mm] $x^3-3t^2*x [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^2-3t^2\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x-\wurzel{3}*t\right)*\left(x+\wurzel{3}*t\right) [/mm] \ = \ 0$
Dies liefert uns dann die drei Nullstellen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ , [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{3}*t$ [/mm] sowie [mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] +\wurzel{3}*t$ [/mm] .
Da wir lediglich die positive Nullstelle betrachten sollen, verbleibt [mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] +\wurzel{3}*t$ $\Rightarrow$ $x^2 [/mm] \ = \ [mm] 3t^2$ [/mm] .
Dies setzen wir nun ein in die Gleichung mit der Steigung, sprich: Ableitung:
[mm] $f'(x_N) [/mm] \ = \ 1$
[mm] $3x^2-3t^2 [/mm] \ = \ [mm] 3*3t^2-3t^2 [/mm] \ = \ ... \ = \ 1$
Und nun diese Gleichung nach $t \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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