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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Kurvenschar [mm] f_{t}(x)=t*\cos(x)-t [/mm] mit [mm] t\not=0 [/mm] im Intervall [mm] I[-\pi;\pi].
[/mm]
a)Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten und der Wendenormalen.
b)Die Wendetangente und die Wendenormale schließen ein Viereck ein.Für welche Werte von t>0 wird der Inhalt dieses Vierecks minimal?
c)Geben Sie eine Kurvenschar [mm] F_{t}(x) [/mm] an,für die gilt: [mm] F_{t}'(x)=f_{t}(x) [/mm] |
Hallo zusamen^^
Ich bin grad an dieser Aufgabe und komme nichtmehr weiter.
Also die Wendepunkte hab ich schon mal berechnet,die müssten [mm] W_{1}(0.5\pi/-t) [/mm] und [mm] W_{2}(-0.5\pi/-t) [/mm] sein.Dann hab ich die Wendetangente berechnet und habe w(x)=-tx+0.57t
Das gleiche für den 2.Wendepunkt.
Jetzt hängts bei mir an der Wendenormalen,dafür hab ich die Formel genommen: [mm] -\bruch{1}{f*(x_{0})}*(x-x_{0})+f(_{0}) [/mm] und hab meinen Wendepunkt eingesetzt,dann komme ich auf [mm] n(x)=\bruch{1}{t}x-\bruch{0.5\pi}{t}-t. [/mm] Stimmt das so,kann man das nicht noch irgendwie zusammenfassen?
b) Bei der b) hab ich zwar boch keinen richtigen Plan,wie man vorgehen muss,aber könnte es sein dass man w(x)*n(x) rechnen muss?
c)Wenn ich es richtig verstehe muss man hier doch [mm] \integral_{}^{}{t*cos(x)-t dx} [/mm] berechnen und dass ist [t*sin(x)-tx].
Vielen dank für eure Hilfe
lg
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> Gegeben ist die Kurvenschar [mm]f_{t}(x)=t*cos(x)-t mit t\not=0[/mm]
> im Intervall [mm]I[-\pi;\pi].[/mm]
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> a)Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten und der
> Wendenormalen.
>
> b)Die Wendetangente[red]n[/n] und die Wendenormalen schließen ein
> Viereck ein.Für welche Werte von t>0 wird der Inhalt dieses
> Vierecks minimal?
Macht m.E. nur Sinn mit dem angegebenen Plural
> c)Geben Sie eine Kurvenschar [mm]F_{t}(x)[/mm] an,für die
> [mm]gilt:F_{t}'(x)=f_{t}(x)[/mm]
> Hallo zusamen^^
>
> Ich bin grad an dieser Aufgabe und komme nichtmehr weiter.
> Also die Wendepunkte hab ich schon mal berechnet,die
> müssten [mm]W_{1}(0.5\pi/-t)[/mm] und [mm]W_{2}(-0.5\pi/-t)[/mm] sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann hab ich die Wendetangente berechnet und habe
> w(x)=-tx+0.57t
Da würde ich nicht runden, sondern exakt angeben: [mm] w(x)=-tx+(1-\bruch{\pi}{2})t
[/mm]
> Das gleiche für den 2.Wendepunkt.
Geradengleichung?
> Jetzt hängts bei mir an der Wendenormalen,dafür hab ich die
> Formel genommen: [mm]-\bruch{1}{f\red{*}(x_{0})}*(x-x_{0})+f(_{0})[/mm]
> und hab meinen Wendepunkt eingesetzt,dann komme ich auf
> [mm]n(x)=\bruch{1}{t}x-\bruch{0.5\pi}{t}-t.[/mm] Stimmt das so,kann
> man das nicht noch irgendwie zusammenfassen?
Nicht besonders. Ich finde [mm] n(x)=\bruch{1}{t}\left(x-\bruch{\pi}{2}\right)-t [/mm] schöner.
> b) Bei der b) hab ich zwar boch keinen richtigen Plan,wie
> man vorgehen muss,aber könnte es sein dass man w(x)*n(x)
> rechnen muss?
Nicht ganz. Lass es Dir mal zeichnen. Du könntest zwar integrieren, aber es geht noch viel einfacher, wenn Du die vier Schnittpunkte bestimmst. Dann ist die Fläche des Drachenvierecks ja die Hälfte des Diagonalenprodukts...
> c)Wenn ich es richtig verstehe muss man hier doch
> [mm]\integral_{}^{}{t*cos(x)-t dx}[/mm] berechnen und dass ist
> [t*sin(x)-tx].
> Vielen dank für eure Hilfe
>
> lg
Wow. Gut gemacht. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße,
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Mo 15.12.2008 | | Autor: | reverend |
Falls Du doch noch an Latein sitzt, und meine Antwort noch gar nicht gelesen hast:
Denk mal einen Moment nach, bevor Du an Aufgabe b rechnest.
Du kannst das im Kopf lösen.
Überleg Dir mal, wie die Tangenten und Normalen sich sozusagen "mit t bewegen".
Das sich verändernde Drachenviereck nimmt an einer Stelle eine besondere Form an, die Dir aus Maximal-/Minimalaufgaben bekannt sein könnte und sollte.
Welche Steigung haben die Geraden, damit diese Form entsteht?
Welches t erwartest Du also?
Rechne erst dann, wenn Du das weißt. Es ist eine gute Übung, um ein Gefühl für solche Aufgaben zu bekommen.
Grüße,
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank,dass du dir Zeit für die Aufgabe genommen hast =).
Ich hab aber noch einige Fragen.
> Denk mal einen Moment nach, bevor Du an Aufgabe b
> rechnest.
> Du kannst das im Kopf lösen.
>
> Überleg Dir mal, wie die Tangenten und Normalen sich
> sozusagen "mit t bewegen".
Also wenn t größer wird,dann gehen die Tangenten und Normalen immer näher aneinander ran.
> Das sich verändernde Drachenviereck nimmt an einer Stelle
> eine besondere Form an, die Dir aus
> Maximal-/Minimalaufgaben bekannt sein könnte und sollte.
hmm,ich weiß nicht genau,welche Form du hier meinst,aber ich hab gehsehn,dass sie sich alle bei (0/1.2) schneiden,das wäre zwar minimal,aber dann ist es kein Viereck mehr oder?
> Welche Steigung haben die Geraden, damit diese Form
> entsteht?
Also spontan würde ich sagen,die haben die Steigung 0,aber warum weiß ich auch nicht ^^
> Welches t erwartest Du also?
?
>
> Rechne erst dann, wenn Du das weißt. Es ist eine gute
> Übung, um ein Gefühl für solche Aufgaben zu bekommen.
>
> Grüße,
> rev
lg
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Ich wünschte, ich könnte es Dir animiert zeigen, aber es scheint, als hätte ich dafür kein Programm zur Verfügung.
Wenn t immer größer wird, wird das Drachenviereck nach oben immer spitzer und länger, nach unten stumpfer und kürzer. Wenn t immer kleiner wird, umgekehrt: unten immer spitzer und länger, oben stumper und kürzer.
Irgendwo mittendrin ist der Punkt erreicht, wo die beiden Diagonalen gleich lang sind. Aus dem Drachenviereck wird ein Quadrat. Dazu müssen Tangenten und Normalen alle im 45°-Winkel verlaufen. Bei welchem t ist das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:32 Di 16.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ist es bei t=1 so?
Aber eigentlich sind in der Aufgabe ja mehrere Werte von t gesucht ?
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Hallo, für t=1 hast du dein Quadrat, die eingeschlossene Fläche wird minimal,
[Dateianhang nicht öffentlich]
weiterhin gibt es aber auch noch die Möglichkeit t=-1
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Falls Du doch noch an Latein sitzt, und meine Antwort noch
> gar nicht gelesen hast:
>
> Denk mal einen Moment nach, bevor Du an Aufgabe b
> rechnest.
> Du kannst das im Kopf lösen.
>
> Überleg Dir mal, wie die Tangenten und Normalen sich
> sozusagen "mit t bewegen".
> Das sich verändernde Drachenviereck nimmt an einer Stelle
> eine besondere Form an, die Dir aus
> Maximal-/Minimalaufgaben bekannt sein könnte und sollte.
>
> Welche Steigung haben die Geraden, damit diese Form
> entsteht?
> Welches t erwartest Du also?
>
> Rechne erst dann, wenn Du das weißt. Es ist eine gute
> Übung, um ein Gefühl für solche Aufgaben zu bekommen.
>
Hallo,
ich hab jetzt zwar raus,dass für t=1 und t=-1 der Inhalt des Vierecks minimal wird,aber ich hab noch eine Frage.
Du sagtest,man kann die Aufgabe im Kopf lösen,aber was ich noch nicht so ganz verstehe,wie ich im Kopf bestimmen kann,welche Steigung,also welches t,die Geraden haben müssen,damit ein Quadrat entsteht?
Ich hab das t=-1 nur rausbekommen,weil du mir den Tipp mit den 45° gegeben hast.
Wie kann man diese Aufgabe denn sonst noch lösen,also richtig "rechnen",nicht nur im Kopf?
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Sa 20.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Falls Du doch noch an Latein sitzt, und meine Antwort noch
> > gar nicht gelesen hast:
> >
> > Denk mal einen Moment nach, bevor Du an Aufgabe b
> > rechnest.
> > Du kannst das im Kopf lösen.
> >
> > Überleg Dir mal, wie die Tangenten und Normalen sich
> > sozusagen "mit t bewegen".
> > Das sich verändernde Drachenviereck nimmt an einer
> Stelle
> > eine besondere Form an, die Dir aus
> > Maximal-/Minimalaufgaben bekannt sein könnte und sollte.
> >
> > Welche Steigung haben die Geraden, damit diese Form
> > entsteht?
> > Welches t erwartest Du also?
> >
> > Rechne erst dann, wenn Du das weißt. Es ist eine gute
> > Übung, um ein Gefühl für solche Aufgaben zu bekommen.
> >
>
> Hallo,
> ich hab jetzt zwar raus,dass für t=1 und t=-1 der Inhalt
> des Vierecks minimal wird,aber ich hab noch eine Frage.
> Du sagtest,man kann die Aufgabe im Kopf lösen,aber was ich
> noch nicht so ganz verstehe,wie ich im Kopf bestimmen
> kann,welche Steigung,also welches t,die Geraden haben
> müssen,damit ein Quadrat entsteht?
> Ich hab das t=-1 nur rausbekommen,weil du mir den Tipp mit
> den 45° gegeben hast.
> Wie kann man diese Aufgabe denn sonst noch lösen,also
> richtig "rechnen",nicht nur im Kopf?
Die Ecken des Vierecks sind doch die Punkte, an denen sich die Wendetangenten und Wendenormalen schneiden. Zwei dieser Punkte liegen auf der y-Achse, denn die Funktionen sind ja achsensymmetrisch. Damit sind dies die Schnittpunkt von $w(x)$ und $n(x)$ mit der y-Achse: $(0,w(0))$ und $(0,n(0))$.
Die anderen beiden Schnittpunkte bekommst du, indem du die Gleichungen der beiden Gerade gleichsetzt, also $w(x)=n(x)$ und nach x auflöst. Das ergibt einen Punkt [mm] $(x_0,y_0)$, [/mm] der noch von t abhängt. (Der zweite Eckpunkt ergibt sich dann wieder durch Spiegelung an der y-Achse.)
(Kontrolle: [mm] $x_0=\pi/2$, $y_0=-t$.)
[/mm]
Der Einfachheit halber berechnest du nicht die Fläche des Vierecks, sondern des halben Vierecks, also des Dreiecks mit den Eckpunkten $(0,w(0))$, $(0,n(0))$, [mm] $(x_0,y_0)$.
[/mm]
Diese Fläche hängt von t ab, und du bestimmst das Extremum.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
vielen dank für deine Hilfe,ich bekomm aber irgendwie nicht die Göeichung w(x)=n(x) nach x aufgelöst.Also ich hab so angefangen
[mm] -tx+(1-\bruch{\pi}{2})*t=\bruch{1}{t}(x-\bruch{\pi}{2})-t [/mm] l:t
[mm] -x+(1-\bruch{\pi}{2})=\bruch{1}{t^{2}}*(x-\bruch{\pi}{2})-1
[/mm]
Ich hab jetzt einiges ausprobiert aber komme zu keinem Ergebnis.
Kann mir jemand einen Tipp geben,wie man hier vorgehen muss?
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Multipliziere auf der rechten Seite die Klammer aus. Anschließend alle $x_$-Terme auf die linke Seite der Gleichung bringen und den Rest nach rechts.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 21.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Multipliziere auf der rechten Seite die Klammer aus.
> Anschließend alle [mm]x_[/mm]-Terme auf die linke Seite der
> Gleichung bringen und den Rest nach rechts.
>
vielen dank,das hab ich jetzt gemacht und hab:
[mm] -x-\bruch{x}{t^{2}}=\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2t^{2}}-2
[/mm]
Ich weiß aber nicht wie ich hier weiterrechnen soll ???
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 So 21.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Klammere auf der linken Seite $x_$ aus und teile anschließend durch die neue Klammer.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 21.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Klammere auf der linken Seite [mm]x_[/mm] aus und teile anschließend
> durch die neue Klammer.
>
ok,wenn ich das mache hab ich
[mm] x=\bruch{t^{2}*\pi}{2}-\bruch{t^{4}*\pi}{2}-2t^{2}
[/mm]
Kann ich da noch was zusammenfassen?
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Hallo Mandy,
> > Hallo Mandy!
> >
> >
> > Klammere auf der linken Seite [mm]x_[/mm] aus und teile anschließend
> > durch die neue Klammer.
> >
>
> ok,wenn ich das mache hab ich
>
> [mm]x=\bruch{t^{2}*\pi}{2}-\bruch{t^{4}*\pi}{2}-2t^{2}[/mm]
Hmm, ich glaube nicht, dass das so stimmt, bevor du durch den Klammerausdruck teilst, solltest du ihn gleichnamig machen!
Also [mm] $x\cdot{}\left(-1-\frac{1}{t^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2t^2}-2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\cdot{}\left(\frac{-t^2-1}{t^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2t^2}-2$
[/mm]
Nun [mm] $\cdot{}\frac{t^2}{-t^2-1}$ [/mm] rechnen.
Vllt. wird es einfacher, wenn du auch die rechte Seite zuerst noch auf einen Nenner bringst ...
LG
schachuzipus
>
> Kann ich da noch was zusammenfassen?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 21.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> > > Hallo Mandy!
> > >
> > >
> > > Klammere auf der linken Seite [mm]x_[/mm] aus und teile anschließend
> > > durch die neue Klammer.
> > >
> >
> > ok,wenn ich das mache hab ich
> >
> > [mm]x=\bruch{t^{2}*\pi}{2}-\bruch{t^{4}*\pi}{2}-2t^{2}[/mm]
>
> Hmm, ich glaube nicht, dass das so stimmt, bevor du durch
> den Klammerausdruck teilst, solltest du ihn gleichnamig
> machen!
>
> Also
> [mm]x\cdot{}\left(-1-\frac{1}{t^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2t^2}-2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x\cdot{}\left(\frac{-t^2-1}{t^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2t^2}-2[/mm]
>
> Nun [mm]\cdot{}\frac{t^2}{-t^2-1}[/mm] rechnen.
>
> Vllt. wird es einfacher, wenn du auch die rechte Seite
> zuerst noch auf einen Nenner bringst ...
>
ok,ich hab jetzt die rechte Seite (ohne auf einen Nenner zu bringen) mit [mm] \bruch{t^{2}}{-t^{2}-1} [/mm] multipliziert und komme auf
[mm] x=\bruch{t^{2}*\pi}{-2t^{2}-2}-\bruch{t^{2}*\pi}{-2t^{4}-2}-\bruch{2t^{2}}{-t^{2}-1}.
[/mm]
Ich hab versucht das auf einen Nenner zu bringen,dann hab ich da stehn
[mm] \bruch{-2t^{6}*\pi-2t^{2}*\pi}{4t^{6}+4t^{4}+4t^{2}+4}+\bruch{2t^{4}*\pi+2t^{2}*\pi}{4t^{6}+4t^{4}+4t^{2}+4}
[/mm]
Irgendwie bringt mich das nicht weiter,ich krieg nur größere Ausdrücke,aber bekomme nicht mein x raus,kann mir jemand helfen?
lg
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Hallo nochmal,
> > Hallo Mandy,
> >
> > > > Hallo Mandy!
> > > >
> > > >
> > > > Klammere auf der linken Seite [mm]x_[/mm] aus und teile anschließend
> > > > durch die neue Klammer.
> > > >
> > >
> > > ok,wenn ich das mache hab ich
> > >
> > > [mm]x=\bruch{t^{2}*\pi}{2}-\bruch{t^{4}*\pi}{2}-2t^{2}[/mm]
> >
> > Hmm, ich glaube nicht, dass das so stimmt, bevor du durch
> > den Klammerausdruck teilst, solltest du ihn gleichnamig
> > machen!
> >
> > Also
> >
> [mm]x\cdot{}\left(-1-\frac{1}{t^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2t^2}-2[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow x\cdot{}\left(\frac{-t^2-1}{t^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2t^2}-2[/mm]
>
> >
> > Nun [mm]\cdot{}\frac{t^2}{-t^2-1}[/mm] rechnen.
> >
> > Vllt. wird es einfacher, wenn du auch die rechte Seite
> > zuerst noch auf einen Nenner bringst ...
> >
>
>
> ok,ich hab jetzt die rechte Seite (ohne auf einen Nenner zu
> bringen) mit [mm]\bruch{t^{2}}{-t^{2}-1}[/mm] multipliziert und
> komme auf
>
> [mm] $x=\bruch{t^{2}*\pi}{-2t^{2}-2}-\bruch{t^{2}*\pi}{-2t^{4}-2\red{t^2}}-\bruch{2t^{2}}{-t^{2}-1}$
[/mm]
Da fehlte ein [mm] $\red{t^2}$ [/mm] im Nenner
>
> Ich hab versucht das auf einen Nenner zu bringen,dann hab
> ich da stehn
>
> [mm]\bruch{-2t^{6}*\pi-2t^{2}*\pi}{4t^{6}+4t^{4}+4t^{2}+4}+\bruch{2t^{4}*\pi+2t^{2}*\pi}{4t^{6}+4t^{4}+4t^{2}+4}[/mm]
>
> Irgendwie bringt mich das nicht weiter,ich krieg nur
> größere Ausdrücke,aber bekomme nicht mein x raus,kann mir
> jemand helfen?
Ich würde das Gezuppel auf der rechten Seite vor dem Teilen gleichnamig machen, Hauptnenner ist [mm] 2t^2, [/mm] also
[mm] $x\cdot{}\left(\frac{-t^2-1}{t^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2t^2}-2=\frac{t^2\pi-\pi-4t^2}{2t^2}=\frac{t^2\cdot{}(\pi-4)-\pi}{2t^2}$
[/mm]
Nun mit [mm] $\frac{t^2}{-t^2-1}$ [/mm] multiplizieren ...
Dann kannst du einmal [mm] $t^2$ [/mm] kürzen, aber ansonsten nicht mehr allzu groß vereinfachen ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 21.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,ich habs jetzt so gemacht,wie du es gesagt hast und komme auf [mm] x=\bruch{\pi*t^{2}-\pi-4t^{4}}{-2t^{2}-2}
[/mm]
Ich versteh jetzt nicht wie rainer s. drauf kam,dass [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] ist (siehe oben) ???
lg
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Hallo, leider hast du einen Vorzeichenfehler durch die ganze Aufgabe geschleppt, tragen wir zusammnen
der Wendepunkt liegt an der Stelle [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] f'(\bruch{\pi}{2})=-t [/mm] Anstieg der Wendetangente
[mm] f(\bruch{\pi}{2})=-t
[/mm]
die Wendetangente lautet y=-tx+n
[mm] (\bruch{\pi}{2}; [/mm] -t) einsetzen
[mm] -t=-t\bruch{\pi}{2}+n
[/mm]
[mm] n=\bruch{\pi}{2}t-t
[/mm]
Wendetangente:
[mm] y_t=-tx+\bruch{\pi}{2}t-t=-tx+(\bruch{\pi}{2}-1)t [/mm] in der Klammer ist dein Vorzeichenfehler
Wendenormale:
[mm] y_n=\bruch{1}{t}x-\bruch{\pi}{2t}-t
[/mm]
Wendetangente und Wendenormale gleichsetzen
[mm] -tx+\bruch{\pi}{2}t-t=\bruch{1}{t}x-\bruch{\pi}{2t}-t
[/mm]
[mm] -tx+\bruch{\pi}{2}t=\bruch{1}{t}x-\bruch{\pi}{2t} [/mm] mal 2t
[mm] -2*t^{2}*x+\pi*t^{2}=2*x-\pi
[/mm]
[mm] -2*t^{2}*x-2*x=-\pi-\pi*t^{2}
[/mm]
[mm] x(-2*t^{2}-2)=-\pi-\pi*t^{2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{-\pi-\pi*t^{2}}{-2*t^{2}-2}
[/mm]
füt t=1 kommst du nun wunderbar auf [mm] x=\bruch{\pi}{2}, [/mm] ebenso natürlich für t=2, u.s.w.
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
vielen dank für deine Hilfe,ich hab jetzt aber noch eine Frage (bin grad etwas verwirrt).
Du hast im anderen Beitrag geschrieben,dass nur für t=1 der Inhalt des Rechtecks minimal wird,hier steht jetzt t=1 t=2 usw...was soll das bedeuten?
Und wir wollten ja das Minimum ausrechnen,da muss man doch die 1.Ableitung=0 setzen und mit der 2.überprüfen,das haben wir aber gar nicht gemacht hier?
vielen dank
lg
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Hallo, in der vorhergehenden Berechnung ging es um die Schnittstelle von Wendetangente und Wendenormale, die sich immer an der Stelle [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] schneiden, aber nur für t=1 entsteht ein Quadrat, sonst sind es Drachenvierecke, Steffi
ich habe mal den Fall t=3 gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 23.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Der Einfachheit halber berechnest du nicht die Fläche des
> Vierecks, sondern des halben Vierecks, also des Dreiecks
> mit den Eckpunkten [mm](0,w(0))[/mm], [mm](0,n(0))[/mm], [mm](x_0,y_0)[/mm].
>
> Diese Fläche hängt von t ab, und du bestimmst das
> Extremum.
>
Ok,ich hab jetzt die Punkte ausgerechnet [mm] w(0)=t*\bruch{\pi}{2}-t [/mm] und [mm] n(0)=-\bruch{\pi}{2t}-t.Ich [/mm] muss also die Fläche mit den den Eckpunkten [mm] (0/t*\bruch{\pi}{2}-t) (0/-\bruch{\pi}{2t}-t) [/mm] und [mm] (\bruch{\pi}{2}/-t) [/mm] berechnen,da n(0) aber negativ ist muss ich das doch eigentlich positiv machen um die Fläche berechnen zu können oder?
Dann nehm ich die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks [mm] A=\bruch{g*h}{2},also \bruch{(t*\bruch{\pi}{2}-t)*(\bruch{\pi}{2})}{2} [/mm] ,von dieser Funktion müsste ich jetzt das Minimum bestimmen,aber ich hab ja gar keine Variable mehr ?
Stimmen meine Rechnungen und mein Rechenweg so überhaupt ?
vielen dank
lg
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Hallo, wir betrachten das Dreieck mit
[mm] w(0)=\bruch{\pi}{2}t-t
[/mm]
[mm] n(0)=-\bruch{\pi}{2t}-t
[/mm]
deine Grundseite vom Dreieck liegt auf der y-Achse
die Grundseite berechnet sich [mm] g=\bruch{\pi}{2}t-t+\bruch{\pi}{2t}+t [/mm] (hier liegt dein Fehler)
die Höhe vom Dreieck beträgt [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] an der Stelle liegt ja der Wendepunkt
[mm] A(t)=\bruch{1}{2}*g*h
[/mm]
[mm] A(t)=\bruch{1}{2}*(\bruch{\pi}{2}t-t+\bruch{\pi}{2t}+t)*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] A(t)=\bruch{1}{2}*(\bruch{\pi}{2}t+\bruch{\pi}{2t})*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] A(t)=\bruch{\pi}{4}*(\bruch{\pi}{2}t+\bruch{\pi}{2t})
[/mm]
die Fläche vom Dreieck ist abhängig von t, da hast du doch deine Variable
A´(t) [mm] =\bruch{\pi}{4}*(\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2*t^{2}})
[/mm]
[mm] 0=\bruch{\pi}{4}*(\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2*t^{2}})
[/mm]
[mm] 0=\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2*t^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\pi}{2}=\bruch{\pi}{2*t^{2}}
[/mm]
t=1
die Lösung t=-1 ist laut Aufgabenstellung nicht gefragt, t>0
zur Kontrolle kannst du noch in die 2. Ableitung rein gehen, die für t=1 positiv ist, also hast du ein Minimum,
Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 23.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen dank,jetzt blick ich endlich durch =)
Die 1.Ableitung lautet ja [mm] A'(x)=\bruch{\pi}{4}*(\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2t^{2}})=\bruch{(\pi)^{2}}{8}-\bruch{(\pi)^{2}}{8t^{2}}=-(\pi)^{2}*8t^{-2}
[/mm]
[mm] A''(x)=16(\pi)^{2}*t^{-3}
[/mm]
Stimmt das so?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Di 23.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> Die 1.Ableitung lautet ja
> [mm]A'(x)=\bruch{\pi}{4}*(\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2t^{2}})=\bruch{(\pi)^{2}}{8}-\bruch{(\pi)^{2}}{8t^{2}}=-(\pi)^{2}*8t^{-2}[/mm]
Hier hast Du ganz am Ende noch den Summanden [mm] $\bruch{\pi^2}{8}$ [/mm] vergessen.
> [mm]A''(x)=16(\pi)^{2}*t^{-3}[/mm]
Aber Deine 2. Ableitung ist nicht ganz korrekt. Siehe dazu Steffi's Antwort.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 23.12.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Loddar
A´(t) [mm] =\bruch{\pi^{2}}{8}-\bruch{\pi^{2}}{8t^{2}}
[/mm]
A´´(t) [mm] =-\bruch{\pi^{2}}{8}*(-2)*t^{-3}=\bruch{\pi^{2}}{4*t^{3}}
[/mm]
die 8 vom Nenner ist bei Mandy plötzlich im Zähler gelandet,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Di 23.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank nochmal,jetzt hab ich die Aufgabe endlich verstanden =)
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Hallo, du kannst natürlich auch durch Überlegung an dein t kommen, die Wendetangente hat den Anstieg -t, somit hat die Normale den Anstieg [mm] \bruch{1}{t}, [/mm] der minimale Flächeninhalt entsteht bei einem Quadrat, Wendetangente und Normale schneiden einander im Winkel von 90 Grad, was nur der Fall sein kann für t=1, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 25.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo, du kannst natürlich auch durch Überlegung an dein
> t kommen, die Wendetangente hat den Anstieg -t, somit hat
> die Normale den Anstieg [mm]\bruch{1}{t},[/mm] der minimale
> Flächeninhalt entsteht bei einem Quadrat, Wendetangente
> und Normale schneiden einander im Winkel von 90 Grad, was
> nur der Fall sein kann für t=1, Steffi
Hallo^^
Die Aufgabe ist zwar schon lange erledigt,ich hab aber trotzdem noch eine Frage.
Was du hier erklärt hast,ist mir nicht ganz klar,denn ich kann doch hier irgendwelche Werte für t einsetzen, z.B. 2 und die schneiden sich trotzdem in Winkel von 90°.Woher weiß man dann,dass t=1 sein muss?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:31 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Selbstverständlich schneiden sich die Tangente und die zugehörige Normale stets im Winkel von 90°; das liegt in der Sache der Definition.
Damit die eingeschlossene Fläche (= Viereck) auch extremal wird, muss auch der benachbarte Winkel 90° betragen. Also müssen sich beide Tangenten bzw. beide Normalen jeweils senkrecht schneiden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
> Hallo Mandy!
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> Selbstverständlich schneiden sich die Tangente und die
> zugehörige Normale stets im Winkel von 90°; das liegt in
> der Sache der Definition.
Ja ok.
> Damit die eingeschlossene Fläche (= Viereck) auch extremal
> wird, muss auch der benachbarte Winkel 90° betragen. Also
> müssen sich beide Tangenten bzw. beide Normalen jeweils
> senkrecht schneiden.
>
Was meinst du hier mit benachbarten Winkeln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Fr 26.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Winkel bei der y-Achse.
Gruss leduart
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